---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma lattice-extend-wc-meet


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f : T ⟶ Point(L)
6. as : fset(fset(T))@i
7. bs : fset(fset(T))@i
8. ∀a,b:Point(L).  Dec(a = b ∈ Point(L))
9. ∀a,b:Point(L).  Dec(a ≤ b)
10. fset-ac-le(eq;as;bs)
11. ∀a:fset(T). (a ∈ as ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ bs ∧ b ⊆ a)))
12. ∀[s:fset(Point(L))]. ∀[x:Point(L)].  x ≤ \/(s) supposing x ∈ s
13. ∀[s:fset(Point(L))]. ∀[u:Point(L)].  ((∀x:Point(L). (x ∈ s ⇒ x ≤ u)) ⇒ \/(s) ≤ u)
14. x : Point(L)@i
15. x1 : fset(T)
16. x1 ∈ as
17. x = /\(f"(x1)) ∈ Point(L)
18. b : fset(T)
19. b ∈ bs
20. b ⊆ x1
⊢ /\(f"(x1)) ≤ \/(λxs./\(f"(xs))"(bs))
BY
{ (Using [`b',⌜/\(f"(b))⌝] (BLemma `lattice-le_transitivity`)⋅ THENA Auto) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f : T ⟶ Point(L)
6. as : fset(fset(T))@i
7. bs : fset(fset(T))@i
8. ∀a,b:Point(L).  Dec(a = b ∈ Point(L))
9. ∀a,b:Point(L).  Dec(a ≤ b)
10. fset-ac-le(eq;as;bs)
11. ∀a:fset(T). (a ∈ as ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ bs ∧ b ⊆ a)))
12. ∀[s:fset(Point(L))]. ∀[x:Point(L)].  x ≤ \/(s) supposing x ∈ s
13. ∀[s:fset(Point(L))]. ∀[u:Point(L)].  ((∀x:Point(L). (x ∈ s ⇒ x ≤ u)) ⇒ \/(s) ≤ u)
14. x : Point(L)@i
15. x1 : fset(T)
16. x1 ∈ as
17. x = /\(f"(x1)) ∈ Point(L)
18. b : fset(T)
19. b ∈ bs
20. b ⊆ x1
⊢ /\(f"(b)) ≤ \/(λxs./\(f"(xs))"(bs))

2
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f : T ⟶ Point(L)
6. as : fset(fset(T))@i
7. bs : fset(fset(T))@i
8. ∀a,b:Point(L).  Dec(a = b ∈ Point(L))
9. ∀a,b:Point(L).  Dec(a ≤ b)
10. fset-ac-le(eq;as;bs)
11. ∀a:fset(T). (a ∈ as ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ bs ∧ b ⊆ a)))
12. ∀[s:fset(Point(L))]. ∀[x:Point(L)].  x ≤ \/(s) supposing x ∈ s
13. ∀[s:fset(Point(L))]. ∀[u:Point(L)].  ((∀x:Point(L). (x ∈ s ⇒ x ≤ u)) ⇒ \/(s) ≤ u)
14. x : Point(L)@i
15. x1 : fset(T)
16. x1 ∈ as
17. x = /\(f"(x1)) ∈ Point(L)
18. b : fset(T)
19. b ∈ bs
20. b ⊆ x1
⊢ /\(f"(x1)) ≤ /\(f"(b))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  L  :  BoundedDistributiveLattice
4.  eqL  :  EqDecider(Point(L))
5.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  Point(L)
6.  as  :  fset(fset(T))@i
7.  bs  :  fset(fset(T))@i
8.  \mforall{}a,b:Point(L).    Dec(a  =  b)
9.  \mforall{}a,b:Point(L).    Dec(a  \mleq{}  b)
10.  fset-ac-le(eq;as;bs)
11.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  as  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}b:fset(T).  (b  \mmember{}  bs  \mwedge{}  b  \msubseteq{}  a)))
12.  \mforall{}[s:fset(Point(L))].  \mforall{}[x:Point(L)].    x  \mleq{}  \mbackslash{}/(s)  supposing  x  \mmember{}  s
13.  \mforall{}[s:fset(Point(L))].  \mforall{}[u:Point(L)].    ((\mforall{}x:Point(L).  (x  \mmember{}  s  {}\mRightarrow{}  x  \mleq{}  u))  {}\mRightarrow{}  \mbackslash{}/(s)  \mleq{}  u)
14.  x  :  Point(L)@i
15.  x1  :  fset(T)
16.  x1  \mmember{}  as
17.  x  =  /\mbackslash{}(f"(x1))
18.  b  :  fset(T)
19.  b  \mmember{}  bs
20.  b  \msubseteq{}  x1
\mvdash{}  /\mbackslash{}(f"(x1))  \mleq{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}xs./\mbackslash{}(f"(xs))"(bs))


By

---

Latex:
(Using  [`b',\mkleeneopen{}/\mbackslash{}(f"(b))\mkleeneclose{}]  (BLemma  `lattice-le\_transitivity`)\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index