---

Step * 2 1 2 of Lemma split_rel_last


1. [A] : Type
2. r : A ⟶ A ⟶ 𝔹
3. u : A
4. v : A List
5. ∀a:A. (↑r[a;a])
6. ¬↑null(v)
7. L1 : A List
8. L2 : A List
9. v = (L1 @ L2) ∈ (A List)
10. ¬↑null(L2)
11. (∀b∈L2.↑r[b;last(v)])
12. ¬↑r[last(L1);last(v)] supposing ¬↑null(L1)
13. ¬↑null([u / v])
⊢ ∃L1,L2:A List
   ((([u / v] = (L1 @ L2) ∈ (A List)) ∧ (¬↑null(L2)) ∧ (∀b∈L2.↑r[b;last([u / v])]))
   ∧ ¬↑r[last(L1);last([u / v])] supposing ¬↑null(L1))
BY
{ ((Decide ↑null(L1) THENA Auto) THEN ThinTrivial) }

1
1. [A] : Type
2. r : A ⟶ A ⟶ 𝔹
3. u : A
4. v : A List
5. ∀a:A. (↑r[a;a])
6. ¬↑null(v)
7. L1 : A List
8. L2 : A List
9. v = (L1 @ L2) ∈ (A List)
10. ¬↑null(L2)
11. (∀b∈L2.↑r[b;last(v)])
12. ¬↑r[last(L1);last(v)] supposing ¬↑null(L1)
13. ¬↑null([u / v])
14. ↑null(L1)
⊢ ∃L1,L2:A List
   ((([u / v] = (L1 @ L2) ∈ (A List)) ∧ (¬↑null(L2)) ∧ (∀b∈L2.↑r[b;last([u / v])]))
   ∧ ¬↑r[last(L1);last([u / v])] supposing ¬↑null(L1))

2
1. [A] : Type
2. r : A ⟶ A ⟶ 𝔹
3. u : A
4. v : A List
5. ∀a:A. (↑r[a;a])
6. ¬↑null(v)
7. L1 : A List
8. L2 : A List
9. v = (L1 @ L2) ∈ (A List)
10. ¬↑null(L2)
11. (∀b∈L2.↑r[b;last(v)])
12. ¬↑null([u / v])
13. ¬↑null(L1)
14. ¬↑r[last(L1);last(v)]
⊢ ∃L1,L2:A List
   ((([u / v] = (L1 @ L2) ∈ (A List)) ∧ (¬↑null(L2)) ∧ (∀b∈L2.↑r[b;last([u / v])]))
   ∧ ¬↑r[last(L1);last([u / v])] supposing ¬↑null(L1))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  r  :  A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
3.  u  :  A
4.  v  :  A  List
5.  \mforall{}a:A.  (\muparrow{}r[a;a])
6.  \mneg{}\muparrow{}null(v)
7.  L1  :  A  List
8.  L2  :  A  List
9.  v  =  (L1  @  L2)
10.  \mneg{}\muparrow{}null(L2)
11.  (\mforall{}b\mmember{}L2.\muparrow{}r[b;last(v)])
12.  \mneg{}\muparrow{}r[last(L1);last(v)]  supposing  \mneg{}\muparrow{}null(L1)
13.  \mneg{}\muparrow{}null([u  /  v])
\mvdash{}  \mexists{}L1,L2:A  List
      ((([u  /  v]  =  (L1  @  L2))  \mwedge{}  (\mneg{}\muparrow{}null(L2))  \mwedge{}  (\mforall{}b\mmember{}L2.\muparrow{}r[b;last([u  /  v])]))
      \mwedge{}  \mneg{}\muparrow{}r[last(L1);last([u  /  v])]  supposing  \mneg{}\muparrow{}null(L1))


By

---

Latex:
((Decide  \muparrow{}null(L1)  THENA  Auto)  THEN  ThinTrivial)

---

Home Index