---

Step * 1 1 2 2 1 1 1 1 of Lemma det-equal-rows


1. r : CRng
2. n : ℕ
3. M : Matrix(n;n;r)
4. i : ℕn
5. j : ℕn
6. ¬(i = j ∈ ℤ)
7. matrix-swap-rows(M;i;j) = M ∈ Matrix(n;n;r)
8. Σ{r} x ∈ map(λf.(f o (i, j));filter(λa.(¬b(permutation-sign(n;a) =z 1));
                                       permutations-list(n))). let k = Π(r) 0 
                                                                            ≤ i 
                                                                            < n
                                                                        M[i,x i] in
                                                                   if permutation-sign(n;x)=1 then k else (-r k)
= Σ{r} x ∈ filter(λa.(¬b(permutation-sign(n;a) =z 1));permutations-list(n)). let k = Π(r) 0 
                                                                                          ≤ i@0 
                                                                                          < n
                                                                                      M[i@0,(λf.(f o (i, j))) x i@0] in
                                                                                 if permutation-sign(n;(λf.(f
                                                                                                            o (i, j))) 
                                                                                                       x)=1
                                                                                 then k
                                                                                 else (-r k)
∈ |r|
9. filter(λa.(¬b(permutation-sign(n;a) =z 1));permutations-list(n)) ∈ {p:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;p)}  List
10. x : {p:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;p)} 
11. v : {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} 
12. permutation-sign(n;x) = v ∈ {s:ℤ| |s| = 1 ∈ ℤ} 
13. (Π(r) 0 ≤ i < n. M[i,x i]) = (Π(r) 0 ≤ i@0 < n. M[(i, j) i@0,x ((i, j) i@0)]) ∈ |r|
14. k : ℕn
15. a : ℕn
16. (x ((i, j) k)) = a ∈ ℕn
⊢ M[(i, j) k,a] = M[k,a] ∈ |r|
BY
{ (RepUR ``flip`` 0
   THEN Repeat ((AutoSplit THEN HypSubst' (-1) 0))
   THEN (ApFunToHypEquands `Z' ⌜Z[i,a]⌝ ⌜|r|⌝ 7⋅ THENA Auto)
   THEN RepUR ``matrix-swap-rows mx matrix-ap`` -1
   THEN Fold `matrix-ap` (-1)
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  M  :  Matrix(n;n;r)
4.  i  :  \mBbbN{}n
5.  j  :  \mBbbN{}n
6.  \mneg{}(i  =  j)
7.  matrix-swap-rows(M;i;j)  =  M
8.  \mSigma{}\{r\}  x  \mmember{}  map(\mlambda{}f.(f  o  (i,  j));filter(\mlambda{}a.(\mneg{}\msubb{}(permutation-sign(n;a)  =\msubz{}  1));
                                                                              permutations-list(n))).  let  k  =  \mPi{}(r)  0 
                                                                                                                                                        \mleq{}  i 
                                                                                                                                                        <  n
                                                                                                                                                M[i,x  i]  in
                                                                                                                                      if  permutation-sign(n;x)=1
                                                                                                                                      then  k
                                                                                                                                      else  (-r  k)
=  \mSigma{}\{r\}  x  \mmember{}  filter(\mlambda{}a.(\mneg{}\msubb{}(permutation-sign(n;a)  =\msubz{}  1));
                                    permutations-list(n)).  let  k  =  \mPi{}(r)  0 
                                                                                                            \mleq{}  i@0 
                                                                                                            <  n
                                                                                                    M[i@0,(\mlambda{}f.(f  o  (i,  j)))  x  i@0]  in
                                                                                          if  permutation-sign(n;(\mlambda{}f.(f  o  (i,  j)))  x)=1
                                                                                          then  k
                                                                                          else  (-r  k)
9.  filter(\mlambda{}a.(\mneg{}\msubb{}(permutation-sign(n;a)  =\msubz{}  1));permutations-list(n))  \mmember{}  \{p:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;p)\}    Li\000Cst
10.  x  :  \{p:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;p)\} 
11.  v  :  \{s:\mBbbZ{}|  |s|  =  1\} 
12.  permutation-sign(n;x)  =  v
13.  (\mPi{}(r)  0  \mleq{}  i  <  n.  M[i,x  i])  =  (\mPi{}(r)  0  \mleq{}  i@0  <  n.  M[(i,  j)  i@0,x  ((i,  j)  i@0)])
14.  k  :  \mBbbN{}n
15.  a  :  \mBbbN{}n
16.  (x  ((i,  j)  k))  =  a
\mvdash{}  M[(i,  j)  k,a]  =  M[k,a]


By

---

Latex:
(RepUR  ``flip``  0
  THEN  Repeat  ((AutoSplit  THEN  HypSubst'  (-1)  0))
  THEN  (ApFunToHypEquands  `Z'  \mkleeneopen{}Z[i,a]\mkleeneclose{}  \mkleeneopen{}|r|\mkleeneclose{}  7\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``matrix-swap-rows  mx  matrix-ap``  -1
  THEN  Fold  `matrix-ap`  (-1)
  THEN  Auto)

---

Home Index