---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma det-fun-is-determinant


1. r : CRng
2. n : ℤ
3. ¬n < 1
4. 0 < n
5. d : Matrix(n;n;r) ⟶ |r|
6. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  ((d matrix-mul-row(r;k;i;M)) = (k * (d M)) ∈ |r|)
7. ∀i:ℕn. ∀row:ℕn ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n;n;r).
     ((d matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y]))
     = ((d matrix(if x=i then row y else M[x,y])) +r (d M))
     ∈ |r|)
8. ∀i,j:ℕn.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n;n;r). ((d matrix-swap-rows(M;i;j)) = (-r (d M)) ∈ |r|)))
9. ∀i,j:ℕn.
     ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n;n;r). ((matrix-swap-rows(M;i;j) = M ∈ Matrix(n;n;r)) ⇒ ((d M) = 0 ∈ |r|))))
10. M : Matrix(n;n;r)
11. i : ℕn
⊢ (d matrix(if x=0 then if y=i then M[0,i] else 0 else M[x,y]))
= (M[0,i] * (d matrix(if x=0 then if y=i then 1 else 0 else M[x,y])))
∈ |r|
BY
{ ((InstHyp [⌜0⌝;⌜M[0,i]⌝;⌜matrix(if x=0 then if y=i then 1 else 0 else M[x,y])⌝] (-6)⋅ THENA Auto)
   THEN NthHypEqTrans (-1)
   THEN EqCDA) }

1
.....subterm..... T:t
2:n
1. r : CRng
2. n : ℤ
3. ¬n < 1
4. 0 < n
5. d : Matrix(n;n;r) ⟶ |r|
6. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  ((d matrix-mul-row(r;k;i;M)) = (k * (d M)) ∈ |r|)
7. ∀i:ℕn. ∀row:ℕn ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n;n;r).
     ((d matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y]))
     = ((d matrix(if x=i then row y else M[x,y])) +r (d M))
     ∈ |r|)
8. ∀i,j:ℕn.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n;n;r). ((d matrix-swap-rows(M;i;j)) = (-r (d M)) ∈ |r|)))
9. ∀i,j:ℕn.
     ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n;n;r). ((matrix-swap-rows(M;i;j) = M ∈ Matrix(n;n;r)) ⇒ ((d M) = 0 ∈ |r|))))
10. M : Matrix(n;n;r)
11. i : ℕn
12. (d matrix-mul-row(r;M[0,i];0;matrix(if x=0 then if y=i then 1 else 0 else M[x,y])))
= (M[0,i] * (d matrix(if x=0 then if y=i then 1 else 0 else M[x,y])))
∈ |r|
⊢ matrix-mul-row(r;M[0,i];0;matrix(if x=0 then if y=i then 1 else 0 else M[x,y]))
= matrix(if x=0 then if y=i then M[0,i] else 0 else M[x,y])
∈ Matrix(n;n;r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  \mneg{}n  <  1
4.  0  <  n
5.  d  :  Matrix(n;n;r)  {}\mrightarrow{}  |r|
6.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  \mforall{}k:|r|.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r).    ((d  matrix-mul-row(r;k;i;M))  =  (k  *  (d  M)))
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  \mforall{}row:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  |r|.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r).
          ((d  matrix(if  x=i  then  (row  y)  +r  M[x,y]  else  M[x,y]))
          =  ((d  matrix(if  x=i  then  row  y  else  M[x,y]))  +r  (d  M)))
8.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}n.    ((\mneg{}(i  =  j))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}M:Matrix(n;n;r).  ((d  matrix-swap-rows(M;i;j))  =  (-r  (d  M)))))
9.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}n.    ((\mneg{}(i  =  j))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}M:Matrix(n;n;r).  ((matrix-swap-rows(M;i;j)  =  M)  {}\mRightarrow{}  ((d  M)  =  0))))
10.  M  :  Matrix(n;n;r)
11.  i  :  \mBbbN{}n
\mvdash{}  (d  matrix(if  x=0  then  if  y=i  then  M[0,i]  else  0  else  M[x,y]))
=  (M[0,i]  *  (d  matrix(if  x=0  then  if  y=i  then  1  else  0  else  M[x,y])))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}M[0,i]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}matrix(if  x=0  then  if  y=i  then  1  else  0  else  M[x,y])\mkleeneclose{}]  (-6)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  NthHypEqTrans  (-1)
  THEN  EqCDA)

---

Home Index