---

Step * 2 1 1 1 2 1 1 1 of Lemma det-fun-is-determinant

.....basecase..... 
1. r : CRng
2. n : ℤ
3. ¬n < 1
4. 0 < n
5. d : det-fun(r;n)
6. M : Matrix(n;n;r)
7. (d M) = (Σ(r) 0 ≤ i < n. M[0,i] * (d matrix(if x=0 then if y=i then 1 else 0 else M[x,y]))) ∈ |r|
8. i : ℕn
9. j : ℤ
⊢ (d matrix(if x=0 then if y=i then 1 else 0 else if (0) < (x)  then if y=i then 0 else M[x,y]  else M[x,y]))
= (d matrix+(r;i;matrix-minor(0;i;M)))
∈ |r|
BY
{ (EqCDA THEN RepUR ``matrix+`` 0 THEN RepeatFor 2 (EqCDA) THEN RepeatFor 2 (AutoSplit)) }

1
1. r : CRng
2. n : ℤ
3. ¬n < 1
4. 0 < n
5. d : det-fun(r;n)
6. M : Matrix(n;n;r)
7. (d M) = (Σ(r) 0 ≤ i < n. M[0,i] * (d matrix(if x=0 then if y=i then 1 else 0 else M[x,y]))) ∈ |r|
8. i : ℕn
9. j : ℤ
10. x : ℕn
11. y : ℕn
12. y ≠ i
13. ¬(x = 0 ∈ ℤ)
14. 0 < x
⊢ M[x,y]
= if (y) < (i)  then matrix-minor(0;i;M)[x - 1,y]  else if (i) < (y)  then matrix-minor(0;i;M)[x - 1,y - 1]  else 0
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:
.....basecase..... 
1.  r  :  CRng
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  \mneg{}n  <  1
4.  0  <  n
5.  d  :  det-fun(r;n)
6.  M  :  Matrix(n;n;r)
7.  (d  M)  =  (\mSigma{}(r)  0  \mleq{}  i  <  n.  M[0,i]  *  (d  matrix(if  x=0  then  if  y=i  then  1  else  0  else  M[x,y])))
8.  i  :  \mBbbN{}n
9.  j  :  \mBbbZ{}
\mvdash{}  (d 
      matrix(if  x=0
                    then  if  y=i  then  1  else  0
                    else  if  (0)  <  (x)    then  if  y=i  then  0  else  M[x,y]    else  M[x,y]))
=  (d  matrix+(r;i;matrix-minor(0;i;M)))


By

---

Latex:
(EqCDA  THEN  RepUR  ``matrix+``  0  THEN  RepeatFor  2  (EqCDA)  THEN  RepeatFor  2  (AutoSplit))

---

Home Index