---

Step * 2 1 of Lemma det-fun-row-op


1. r : Rng
2. n : ℕ
3. d : Matrix(n;n;r) ⟶ |r|
4. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  ((d matrix-mul-row(r;k;i;M)) = (k * (d M)) ∈ |r|)
5. ∀i:ℕn. ∀row:ℕn ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n;n;r).
     ((d matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y]))
     = ((d matrix(if x=i then row y else M[x,y])) +r (d M))
     ∈ |r|)
6. ∀i,j:ℕn.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n;n;r). ((d matrix-swap-rows(M;i;j)) = (-r (d M)) ∈ |r|)))
7. ∀i,j:ℕn.
     ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n;n;r). ((matrix-swap-rows(M;i;j) = M ∈ Matrix(n;n;r)) ⇒ ((d M) = 0 ∈ |r|))))
8. M : Matrix(n;n;r)
9. a : ℕn
10. b : ℕn
11. k : |r|
12. ¬(a = b ∈ ℤ)
13. (d matrix(if x=a then (k * M[b,y]) +r M[x,y] else M[x,y]))
= ((d matrix(if x=a then k * M[b,y] else M[x,y])) +r (d M))
∈ |r|
14. (d matrix-mul-row(r;k;a;matrix(if x=a then M[b,y] else M[x,y])))
= (k * (d matrix(if x=a then M[b,y] else M[x,y])))
∈ |r|
⊢ (d M) = ((d matrix(if x=a then k * M[b,y] else M[x,y])) +r (d M)) ∈ |r|
BY
{ (Subst' (d matrix(if x=a then k * M[b,y] else M[x,y])) = (k * (d matrix(if x=a then M[b,y] else M[x,y]))) ∈ |r| 0
   THENW Auto
   ) }

1
.....equality..... 
1. r : Rng
2. n : ℕ
3. d : Matrix(n;n;r) ⟶ |r|
4. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  ((d matrix-mul-row(r;k;i;M)) = (k * (d M)) ∈ |r|)
5. ∀i:ℕn. ∀row:ℕn ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n;n;r).
     ((d matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y]))
     = ((d matrix(if x=i then row y else M[x,y])) +r (d M))
     ∈ |r|)
6. ∀i,j:ℕn.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n;n;r). ((d matrix-swap-rows(M;i;j)) = (-r (d M)) ∈ |r|)))
7. ∀i,j:ℕn.
     ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n;n;r). ((matrix-swap-rows(M;i;j) = M ∈ Matrix(n;n;r)) ⇒ ((d M) = 0 ∈ |r|))))
8. M : Matrix(n;n;r)
9. a : ℕn
10. b : ℕn
11. k : |r|
12. ¬(a = b ∈ ℤ)
13. (d matrix(if x=a then (k * M[b,y]) +r M[x,y] else M[x,y]))
= ((d matrix(if x=a then k * M[b,y] else M[x,y])) +r (d M))
∈ |r|
14. (d matrix-mul-row(r;k;a;matrix(if x=a then M[b,y] else M[x,y])))
= (k * (d matrix(if x=a then M[b,y] else M[x,y])))
∈ |r|
⊢ (d matrix(if x=a then k * M[b,y] else M[x,y])) = (k * (d matrix(if x=a then M[b,y] else M[x,y]))) ∈ |r|

2
1. r : Rng
2. n : ℕ
3. d : Matrix(n;n;r) ⟶ |r|
4. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  ((d matrix-mul-row(r;k;i;M)) = (k * (d M)) ∈ |r|)
5. ∀i:ℕn. ∀row:ℕn ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n;n;r).
     ((d matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y]))
     = ((d matrix(if x=i then row y else M[x,y])) +r (d M))
     ∈ |r|)
6. ∀i,j:ℕn.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n;n;r). ((d matrix-swap-rows(M;i;j)) = (-r (d M)) ∈ |r|)))
7. ∀i,j:ℕn.
     ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n;n;r). ((matrix-swap-rows(M;i;j) = M ∈ Matrix(n;n;r)) ⇒ ((d M) = 0 ∈ |r|))))
8. M : Matrix(n;n;r)
9. a : ℕn
10. b : ℕn
11. k : |r|
12. ¬(a = b ∈ ℤ)
13. (d matrix(if x=a then (k * M[b,y]) +r M[x,y] else M[x,y]))
= ((d matrix(if x=a then k * M[b,y] else M[x,y])) +r (d M))
∈ |r|
14. (d matrix-mul-row(r;k;a;matrix(if x=a then M[b,y] else M[x,y])))
= (k * (d matrix(if x=a then M[b,y] else M[x,y])))
∈ |r|
⊢ (d M) = ((k * (d matrix(if x=a then M[b,y] else M[x,y]))) +r (d M)) ∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  Rng
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  d  :  Matrix(n;n;r)  {}\mrightarrow{}  |r|
4.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  \mforall{}k:|r|.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r).    ((d  matrix-mul-row(r;k;i;M))  =  (k  *  (d  M)))
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  \mforall{}row:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  |r|.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r).
          ((d  matrix(if  x=i  then  (row  y)  +r  M[x,y]  else  M[x,y]))
          =  ((d  matrix(if  x=i  then  row  y  else  M[x,y]))  +r  (d  M)))
6.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}n.    ((\mneg{}(i  =  j))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}M:Matrix(n;n;r).  ((d  matrix-swap-rows(M;i;j))  =  (-r  (d  M)))))
7.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}n.    ((\mneg{}(i  =  j))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}M:Matrix(n;n;r).  ((matrix-swap-rows(M;i;j)  =  M)  {}\mRightarrow{}  ((d  M)  =  0))))
8.  M  :  Matrix(n;n;r)
9.  a  :  \mBbbN{}n
10.  b  :  \mBbbN{}n
11.  k  :  |r|
12.  \mneg{}(a  =  b)
13.  (d  matrix(if  x=a  then  (k  *  M[b,y])  +r  M[x,y]  else  M[x,y]))
=  ((d  matrix(if  x=a  then  k  *  M[b,y]  else  M[x,y]))  +r  (d  M))
14.  (d  matrix-mul-row(r;k;a;matrix(if  x=a  then  M[b,y]  else  M[x,y])))
=  (k  *  (d  matrix(if  x=a  then  M[b,y]  else  M[x,y])))
\mvdash{}  (d  M)  =  ((d  matrix(if  x=a  then  k  *  M[b,y]  else  M[x,y]))  +r  (d  M))


By

---

Latex:
(Subst'  (d  matrix(if  x=a  then  k  *  M[b,y]  else  M[x,y]))
  =  (k  *  (d  matrix(if  x=a  then  M[b,y]  else  M[x,y])))  0
  THENW  Auto
  )

---

Home Index