---

Step * 1 2 1 of Lemma det-times


1. r : CRng
2. n : ℕ
3. A : Matrix(n;n;r)
4. B : Matrix(n;n;r)
5. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  (|(matrix-mul-row(r;k;i;M)*B)| = (k * |(M*B)|) ∈ |r|)
6. i : ℕn
7. row : ℕn ⟶ |r|
8. M : Matrix(n;n;r)
9. matrix(row y) ∈ Row(n;r)
10. |matrix(if x=i then (matrix(row y)*B)[0,y] +r (M*B)[x,y] else (M*B)[x,y])|
= (|matrix(if x=i then (matrix(row y)*B)[0,y] else (M*B)[x,y])| +r |(M*B)|)
∈ |r|
11. x : ℕn
12. y : ℕn
13. x = i ∈ ℤ
⊢ (Σ(r) 0 
        ≤ i@0 
        < n
    ((row i@0) +r M[x,i@0]) * B[i@0,y])
= ((Σ(r) 0 ≤ i < n. (row i) * B[i,y]) +r (Σ(r) 0 ≤ i < n. M[x,i] * B[i,y]))
∈ |r|
BY
{ ((RWO "rng_sum_plus<" 0 THEN Auto) THEN EqCDA) }

1
.....subterm..... T:t
4:n
1. r : CRng
2. n : ℕ
3. A : Matrix(n;n;r)
4. B : Matrix(n;n;r)
5. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  (|(matrix-mul-row(r;k;i;M)*B)| = (k * |(M*B)|) ∈ |r|)
6. i : ℕn
7. row : ℕn ⟶ |r|
8. M : Matrix(n;n;r)
9. matrix(row y) ∈ Row(n;r)
10. |matrix(if x=i then (matrix(row y)*B)[0,y] +r (M*B)[x,y] else (M*B)[x,y])|
= (|matrix(if x=i then (matrix(row y)*B)[0,y] else (M*B)[x,y])| +r |(M*B)|)
∈ |r|
11. x : ℕn
12. y : ℕn
13. x = i ∈ ℤ
14. i@0 : ℕn
⊢ (((row i@0) +r M[x,i@0]) * B[i@0,y]) = (((row i@0) * B[i@0,y]) +r (M[x,i@0] * B[i@0,y])) ∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  A  :  Matrix(n;n;r)
4.  B  :  Matrix(n;n;r)
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  \mforall{}k:|r|.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r).    (|(matrix-mul-row(r;k;i;M)*B)|  =  (k  *  |(M*B)|))
6.  i  :  \mBbbN{}n
7.  row  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  |r|
8.  M  :  Matrix(n;n;r)
9.  matrix(row  y)  \mmember{}  Row(n;r)
10.  |matrix(if  x=i  then  (matrix(row  y)*B)[0,y]  +r  (M*B)[x,y]  else  (M*B)[x,y])|
=  (|matrix(if  x=i  then  (matrix(row  y)*B)[0,y]  else  (M*B)[x,y])|  +r  |(M*B)|)
11.  x  :  \mBbbN{}n
12.  y  :  \mBbbN{}n
13.  x  =  i
\mvdash{}  (\mSigma{}(r)  0 
                \mleq{}  i@0 
                <  n
        ((row  i@0)  +r  M[x,i@0])  *  B[i@0,y])
=  ((\mSigma{}(r)  0  \mleq{}  i  <  n.  (row  i)  *  B[i,y])  +r  (\mSigma{}(r)  0  \mleq{}  i  <  n.  M[x,i]  *  B[i,y]))


By

---

Latex:
((RWO  "rng\_sum\_plus<"  0  THEN  Auto)  THEN  EqCDA)

---

Home Index