---

Step * 1 3 of Lemma det-times


1. r : CRng
2. n : ℕ
3. A : Matrix(n;n;r)
4. B : Matrix(n;n;r)
5. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  (|(matrix-mul-row(r;k;i;M)*B)| = (k * |(M*B)|) ∈ |r|)
6. ∀i:ℕn. ∀row:ℕn ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n;n;r).
     (|(matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y])*B)|
     = (|(matrix(if x=i then row y else M[x,y])*B)| +r |(M*B)|)
     ∈ |r|)
7. i : ℕn
8. j : ℕn
9. ¬(i = j ∈ ℤ)
10. M : Matrix(n;n;r)
⊢ |(matrix-swap-rows(M;i;j)*B)| = (-r |(M*B)|) ∈ |r|
BY
{ ((InstLemma `det-swap-rows` [⌜r⌝;⌜n⌝;⌜(M*B)⌝;⌜i⌝;⌜j⌝]⋅ THENA Auto) THEN NthHypEqTrans (-1) THEN EqCDA) }

1
.....subterm..... T:t
3:n
1. r : CRng
2. n : ℕ
3. A : Matrix(n;n;r)
4. B : Matrix(n;n;r)
5. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  (|(matrix-mul-row(r;k;i;M)*B)| = (k * |(M*B)|) ∈ |r|)
6. ∀i:ℕn. ∀row:ℕn ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n;n;r).
     (|(matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y])*B)|
     = (|(matrix(if x=i then row y else M[x,y])*B)| +r |(M*B)|)
     ∈ |r|)
7. i : ℕn
8. j : ℕn
9. ¬(i = j ∈ ℤ)
10. M : Matrix(n;n;r)
11. |matrix-swap-rows((M*B);i;j)| = (-r |(M*B)|) ∈ |r|
⊢ matrix-swap-rows((M*B);i;j) = (matrix-swap-rows(M;i;j)*B) ∈ Matrix(n;n;r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  A  :  Matrix(n;n;r)
4.  B  :  Matrix(n;n;r)
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  \mforall{}k:|r|.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r).    (|(matrix-mul-row(r;k;i;M)*B)|  =  (k  *  |(M*B)|))
6.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  \mforall{}row:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  |r|.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r).
          (|(matrix(if  x=i  then  (row  y)  +r  M[x,y]  else  M[x,y])*B)|
          =  (|(matrix(if  x=i  then  row  y  else  M[x,y])*B)|  +r  |(M*B)|))
7.  i  :  \mBbbN{}n
8.  j  :  \mBbbN{}n
9.  \mneg{}(i  =  j)
10.  M  :  Matrix(n;n;r)
\mvdash{}  |(matrix-swap-rows(M;i;j)*B)|  =  (-r  |(M*B)|)


By

---

Latex:
((InstLemma  `det-swap-rows`  [\mkleeneopen{}r\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(M*B)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}j\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  NthHypEqTrans  (-1)
  THEN  EqCDA)

---

Home Index