---

Step * 1 4 of Lemma det-times


1. r : CRng
2. n : ℕ
3. A : Matrix(n;n;r)
4. B : Matrix(n;n;r)
5. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  (|(matrix-mul-row(r;k;i;M)*B)| = (k * |(M*B)|) ∈ |r|)
6. ∀i:ℕn. ∀row:ℕn ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n;n;r).
     (|(matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y])*B)|
     = (|(matrix(if x=i then row y else M[x,y])*B)| +r |(M*B)|)
     ∈ |r|)
7. ∀i,j:ℕn.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n;n;r). (|(matrix-swap-rows(M;i;j)*B)| = (-r |(M*B)|) ∈ |r|)))
8. i : ℕn
9. j : ℕn
10. ¬(i = j ∈ ℤ)
11. M : Matrix(n;n;r)
12. matrix-swap-rows(M;i;j) = M ∈ Matrix(n;n;r)
⊢ |(M*B)| = 0 ∈ |r|
BY
{ ((InstLemma `det-equal-rows` [⌜r⌝;⌜n⌝;⌜(M*B)⌝;⌜i⌝;⌜j⌝]⋅ THEN Auto)
   THEN (Subst' matrix-swap-rows((M*B);i;j) ~ (matrix-swap-rows(M;i;j)*B) 0 THENM Auto)
   ) }

1
.....equality..... 
1. r : CRng
2. n : ℕ
3. A : Matrix(n;n;r)
4. B : Matrix(n;n;r)
5. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  (|(matrix-mul-row(r;k;i;M)*B)| = (k * |(M*B)|) ∈ |r|)
6. ∀i:ℕn. ∀row:ℕn ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n;n;r).
     (|(matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y])*B)|
     = (|(matrix(if x=i then row y else M[x,y])*B)| +r |(M*B)|)
     ∈ |r|)
7. ∀i,j:ℕn.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n;n;r). (|(matrix-swap-rows(M;i;j)*B)| = (-r |(M*B)|) ∈ |r|)))
8. i : ℕn
9. j : ℕn
10. ¬(i = j ∈ ℤ)
11. M : Matrix(n;n;r)
12. matrix-swap-rows(M;i;j) = M ∈ Matrix(n;n;r)
13. ¬(i = j ∈ ℤ)
⊢ matrix-swap-rows((M*B);i;j) ~ (matrix-swap-rows(M;i;j)*B)

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  A  :  Matrix(n;n;r)
4.  B  :  Matrix(n;n;r)
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  \mforall{}k:|r|.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r).    (|(matrix-mul-row(r;k;i;M)*B)|  =  (k  *  |(M*B)|))
6.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  \mforall{}row:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  |r|.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r).
          (|(matrix(if  x=i  then  (row  y)  +r  M[x,y]  else  M[x,y])*B)|
          =  (|(matrix(if  x=i  then  row  y  else  M[x,y])*B)|  +r  |(M*B)|))
7.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}n.    ((\mneg{}(i  =  j))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}M:Matrix(n;n;r).  (|(matrix-swap-rows(M;i;j)*B)|  =  (-r  |(M*B)|))))
8.  i  :  \mBbbN{}n
9.  j  :  \mBbbN{}n
10.  \mneg{}(i  =  j)
11.  M  :  Matrix(n;n;r)
12.  matrix-swap-rows(M;i;j)  =  M
\mvdash{}  |(M*B)|  =  0


By

---

Latex:
((InstLemma  `det-equal-rows`  [\mkleeneopen{}r\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(M*B)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}j\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  (Subst'  matrix-swap-rows((M*B);i;j)  \msim{}  (matrix-swap-rows(M;i;j)*B)  0  THENM  Auto)
  )

---

Home Index