---

Step * 1 of Lemma rng_prod_plus


1. r : CRng
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. F : ℕn ⟶ |r|
5. G : ℕn ⟶ |r|
⊢ (Σ{r} p ∈ functions-list(n - 1;2). (Π(r) 0 
                                           ≤ i 
                                           < n - 1
                                       if (p i =z 0) then F[i] else G[i] fi ) 
   * 
   (F[n - 1] +r G[n - 1]))
= Σ{r} p ∈ functions-list(n;2). ((Π(r) 0 
                                       ≤ i 
                                       < n - 1
                                   if (p i =z 0) then F[i] else G[i] fi ) 
                                 * 
                                 if (p (n - 1) =z 0) then F[n - 1] else G[n - 1] fi )
∈ |r|
BY
{ ((RW (AddrC [2] RngNormC) 0 THENA Auto)
   THEN (InstLemma `rng_lsum-split` [⌜ℕn ⟶ ℕ2⌝;⌜λ2p.(p (n - 1) =z 0)⌝;⌜r⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (RW (AddrC [3] (HypC (-1))) 0 THENA Auto)
   THEN EqCDA) }

1
.....subterm..... T:t
2:n
1. r : CRng
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. F : ℕn ⟶ |r|
5. G : ℕn ⟶ |r|
6. ∀[f:(ℕn ⟶ ℕ2) ⟶ |r|]. ∀[as:(ℕn ⟶ ℕ2) List].
     (Σ{r} x ∈ as. f[x]
     = (Σ{r} x ∈ filter(λ2p.(p (n - 1) =z 0);as). f[x] +r Σ{r} x ∈ filter(λa.(¬b(a (n - 1) =z 0));as). f[x])
     ∈ |r|)
⊢ (Σ{r} p ∈ functions-list(n - 1;2). (Π(r) 0 ≤ i < n - 1. if (p i =z 0) then F[i] else G[i] fi ) * F[n - 1])
= Σ{r} p ∈ filter(λ2p.(p (n - 1) =z 0);functions-list(n;2)). ((Π(r) 0 
                                                                    ≤ i 
                                                                    < n - 1
                                                                if (p i =z 0) then F[i] else G[i] fi ) 
                                                              * 
                                                              if (p (n - 1) =z 0) then F[n - 1] else G[n - 1] fi )
∈ |r|

2
.....subterm..... T:t
3:n
1. r : CRng
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. F : ℕn ⟶ |r|
5. G : ℕn ⟶ |r|
6. ∀[f:(ℕn ⟶ ℕ2) ⟶ |r|]. ∀[as:(ℕn ⟶ ℕ2) List].
     (Σ{r} x ∈ as. f[x]
     = (Σ{r} x ∈ filter(λ2p.(p (n - 1) =z 0);as). f[x] +r Σ{r} x ∈ filter(λa.(¬b(a (n - 1) =z 0));as). f[x])
     ∈ |r|)
⊢ (Σ{r} p ∈ functions-list(n - 1;2). (Π(r) 0 ≤ i < n - 1. if (p i =z 0) then F[i] else G[i] fi ) * G[n - 1])
= Σ{r} p ∈ filter(λa.(¬b(a (n - 1) =z 0));functions-list(n;2)). ((Π(r) 0 
                                                                       ≤ i 
                                                                       < n - 1
                                                                   if (p i =z 0) then F[i] else G[i] fi ) 
                                                                 * 
                                                                 if (p (n - 1) =z 0) then F[n - 1] else G[n - 1] fi )
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  0  <  n
4.  F  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  |r|
5.  G  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  |r|
\mvdash{}  (\mSigma{}\{r\}  p  \mmember{}  functions-list(n  -  1;2).  (\mPi{}(r)  0 
                                                                                      \mleq{}  i 
                                                                                      <  n  -  1
                                                                              if  (p  i  =\msubz{}  0)  then  F[i]  else  G[i]  fi  ) 
      * 
      (F[n  -  1]  +r  G[n  -  1]))
=  \mSigma{}\{r\}  p  \mmember{}  functions-list(n;2).  ((\mPi{}(r)  0 
                                                                              \mleq{}  i 
                                                                              <  n  -  1
                                                                      if  (p  i  =\msubz{}  0)  then  F[i]  else  G[i]  fi  ) 
                                                                  * 
                                                                  if  (p  (n  -  1)  =\msubz{}  0)  then  F[n  -  1]  else  G[n  -  1]  fi  )


By

---

Latex:
((RW  (AddrC  [2]  RngNormC)  0  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `rng\_lsum-split`  [\mkleeneopen{}\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}p.(p  (n  -  1)  =\msubz{}  0)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RW  (AddrC  [3]  (HypC  (-1)))  0  THENA  Auto)
  THEN  EqCDA)

---

Home Index