---

Step * 1 3 of Lemma mk_monad_wf

.....eq aux..... 
1. M : Type ⟶ Type
2. return : ⋂T:Type. (T ⟶ (M T))
3. bind : ⋂T,S:Type.  ((M T) ⟶ (T ⟶ (M S)) ⟶ (M S))
4. ∀[T,S:Type]. ∀[x:T].  ∀f:T ⟶ (M S). ((bind (return x) f) = (f x) ∈ (M S))
5. ∀[T:Type]. ∀[m:M T].  ((bind m return) = m ∈ (M T))
6. ∀[T,S,U:Type]. ∀[m:M T]. ∀[f:T ⟶ (M S)]. ∀[g:S ⟶ (M U)].
     ((bind (bind m f) g) = (bind m (λx.(bind (f x) g))) ∈ (M U))
7. M1 : Type ⟶ Type
⊢ istype(return:⋂T:Type. (T ⟶ (M1 T))
× bind:⋂T,S:Type.  ((M1 T) ⟶ (T ⟶ (M1 S)) ⟶ (M1 S))
× leftunit:∀[T,S:Type]. ∀[x:T]. ∀[f:T ⟶ (M1 S)].  ((bind (return x) f) = (f x) ∈ (M1 S))
× rightunit:∀[T:Type]. ∀[m:M1 T].  ((bind m return) = m ∈ (M1 T))
× (∀[T,S,U:Type]. ∀[m:M1 T]. ∀[f:T ⟶ (M1 S)]. ∀[g:S ⟶ (M1 U)].
     ((bind (bind m f) g) = (bind m (λx.(bind (f x) g))) ∈ (M1 U))))
BY
{ (RepeatFor 10 ((D 0 THENL [Auto; Id])) THEN EqualityIsType1 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....eq  aux..... 
1.  M  :  Type  {}\mrightarrow{}  Type
2.  return  :  \mcap{}T:Type.  (T  {}\mrightarrow{}  (M  T))
3.  bind  :  \mcap{}T,S:Type.    ((M  T)  {}\mrightarrow{}  (T  {}\mrightarrow{}  (M  S))  {}\mrightarrow{}  (M  S))
4.  \mforall{}[T,S:Type].  \mforall{}[x:T].    \mforall{}f:T  {}\mrightarrow{}  (M  S).  ((bind  (return  x)  f)  =  (f  x))
5.  \mforall{}[T:Type].  \mforall{}[m:M  T].    ((bind  m  return)  =  m)
6.  \mforall{}[T,S,U:Type].  \mforall{}[m:M  T].  \mforall{}[f:T  {}\mrightarrow{}  (M  S)].  \mforall{}[g:S  {}\mrightarrow{}  (M  U)].
          ((bind  (bind  m  f)  g)  =  (bind  m  (\mlambda{}x.(bind  (f  x)  g))))
7.  M1  :  Type  {}\mrightarrow{}  Type
\mvdash{}  istype(return:\mcap{}T:Type.  (T  {}\mrightarrow{}  (M1  T))
\mtimes{}  bind:\mcap{}T,S:Type.    ((M1  T)  {}\mrightarrow{}  (T  {}\mrightarrow{}  (M1  S))  {}\mrightarrow{}  (M1  S))
\mtimes{}  leftunit:\mforall{}[T,S:Type].  \mforall{}[x:T].  \mforall{}[f:T  {}\mrightarrow{}  (M1  S)].    ((bind  (return  x)  f)  =  (f  x))
\mtimes{}  rightunit:\mforall{}[T:Type].  \mforall{}[m:M1  T].    ((bind  m  return)  =  m)
\mtimes{}  (\mforall{}[T,S,U:Type].  \mforall{}[m:M1  T].  \mforall{}[f:T  {}\mrightarrow{}  (M1  S)].  \mforall{}[g:S  {}\mrightarrow{}  (M1  U)].
          ((bind  (bind  m  f)  g)  =  (bind  m  (\mlambda{}x.(bind  (f  x)  g))))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  10  ((D  0  THENL  [Auto;  Id]))  THEN  EqualityIsType1  THEN  Auto)

---

Home Index