---

Step * 2 of Lemma KozenSilva-theorem


1. r : CRng
2. x : Atom
3. y : Atom
4. ¬(x = y ∈ Atom)
5. h : PowerSeries(r)
6. d : ℕ ⟶ ℕ
7. k : ℤ
8. k ≠ 0
9. 0 < k
10. [Moessner-aux(r;x;y;h;d;k - 1)]_Σ(d i | i < (k - 1) + 1)
= ([h]_d 0(y:=(((k - 1) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k - 1)).((((k - 1 - i) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))^(d (i + 1)))
∈ PowerSeries(r)
⊢ [([Moessner-aux(r;x;y;h;d;k - 1)]_Σ(d i | i < k)(y:=1)*Δ(x,y))]_Σ(d i | i < k + 1)
= ([h]_d 0(y:=((k ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))^(d (i + 1)))
∈ PowerSeries(r)
BY
{ ((Assert k ∈ ℕ BY
          Auto)
   THEN PromoteHyp (-1) 8
   THEN (Subst ⌜(k - 1) + 1 ~ k⌝ (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert Σ(d i | i < k) ∈ ℕ BY
               (MemTypeCD THEN Auto THEN BLemma `non_neg_sum` THEN Auto))
   THEN (Assert Σ(d i | i < k + 1) ∈ ℕ BY
               (MemTypeCD THEN Auto THEN BLemma `non_neg_sum` THEN Auto))) }

1
1. r : CRng
2. x : Atom
3. y : Atom
4. ¬(x = y ∈ Atom)
5. h : PowerSeries(r)
6. d : ℕ ⟶ ℕ
7. k : ℤ
8. k ∈ ℕ
9. k ≠ 0
10. 0 < k
11. [Moessner-aux(r;x;y;h;d;k - 1)]_Σ(d i | i < k)
= ([h]_d 0(y:=(((k - 1) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k - 1)).((((k - 1 - i) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))^(d (i + 1)))
∈ PowerSeries(r)
12. Σ(d i | i < k) ∈ ℕ
13. Σ(d i | i < k + 1) ∈ ℕ
⊢ [([Moessner-aux(r;x;y;h;d;k - 1)]_Σ(d i | i < k)(y:=1)*Δ(x,y))]_Σ(d i | i < k + 1)
= ([h]_d 0(y:=((k ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))^(d (i + 1)))
∈ PowerSeries(r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  x  :  Atom
3.  y  :  Atom
4.  \mneg{}(x  =  y)
5.  h  :  PowerSeries(r)
6.  d  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
7.  k  :  \mBbbZ{}
8.  k  \mneq{}  0
9.  0  <  k
10.  [Moessner-aux(r;x;y;h;d;k  -  1)]\_\mSigma{}(d  i  |  i  <  (k  -  1)  +  1)
=  ([h]\_d  0(y:=(((k  -  1)  \mcdot{}r  1)*atom(x)+atom(y)))*\mPi{}(i\mmember{}upto(k 
    -  1)).((((k  -  1  -  i)  \mcdot{}r  1)*atom(x)+atom(y)))\^{}(d  (i  +  1)))
\mvdash{}  [([Moessner-aux(r;x;y;h;d;k  -  1)]\_\mSigma{}(d  i  |  i  <  k)(y:=1)*\mDelta{}(x,y))]\_\mSigma{}(d  i  |  i  <  k  +  1)
=  ([h]\_d  0(y:=((k  \mcdot{}r  1)*atom(x)+atom(y)))*\mPi{}(i\mmember{}upto(k)).((((k  -  i)  \mcdot{}r  1)*atom(x)+atom(y)))\^{}(d 
                                                                                                                                                                                      (i  +  1)))


By

---

Latex:
((Assert  k  \mmember{}  \mBbbN{}  BY
                Auto)
  THEN  PromoteHyp  (-1)  8
  THEN  (Subst  \mkleeneopen{}(k  -  1)  +  1  \msim{}  k\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mSigma{}(d  i  |  i  <  k)  \mmember{}  \mBbbN{}  BY
                          (MemTypeCD  THEN  Auto  THEN  BLemma  `non\_neg\_sum`  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mSigma{}(d  i  |  i  <  k  +  1)  \mmember{}  \mBbbN{}  BY
                          (MemTypeCD  THEN  Auto  THEN  BLemma  `non\_neg\_sum`  THEN  Auto)))

---

Home Index