---

Step * of Lemma fps-compose-scalar-mul

∀[X:Type]
  ∀[eq:EqDecider(X)]. ∀[r:CRng]. ∀[c:|r|]. ∀[x:X]. ∀[g,f:PowerSeries(X;r)].
    ((c)*g(x:=f) = (c)*g(x:=f) ∈ PowerSeries(X;r)) 
  supposing valueall-type(X)
BY
{ (Auto
   THEN RepUR ``power-series fps-scalar-mul fps-compose fps-coeff`` 0
   THEN EqCD
   THEN Auto
   THEN GenConclAtAddr [2;3] 
   THEN ((InstLemma `rng_plus_comm` [⌜r⌝]⋅ THEN Auto) THEN Fold `comm` (-1))
   THEN (Assert Assoc(|r|;+r) BY
               RepeatFor 2 ((DVar `r' THEN Auto)))
   THEN (Assert ∀L:bag(X) List+. (||L|| ≥ 1 ) BY
               (Auto THEN D -1 THEN Auto))
   THEN xxx(Assert Assoc(|r|;*) ∧ Comm(|r|;*) BY
                  RepeatFor 2 ((DVar `r' THEN Auto)))xxx
   THEN (Assert ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|) BY
               (Auto THEN Using [`T',⌜bag(X)⌝] MemCD⋅ THEN Auto))
   THEN ((InstLemma `bag-summation-linear1` [⌜bag(X) List+⌝;⌜|r|⌝;⌜+r⌝]⋅ THENM RWO "-1<" 0)
         THENA (Try (Complete (Auto))
                THEN Try ((Using [`T',⌜bag(X) List+⌝] MemCD⋅ THEN Complete (Auto)))
                THEN Auto
                THEN Try (((With ⌜-r⌝ (D 0)⋅ THEN Auto) THEN RepeatFor 2 ((DVar `r' THEN Auto)))))
         )⋅) }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. c : |r|
6. x : X
7. g : PowerSeries(X;r)
8. f : PowerSeries(X;r)
9. bs : bag(X)
10. v : bag(bag(X) List+)
11. bag-parts'(eq;bs;x) = v ∈ bag(bag(X) List+)
12. Comm(|r|;+r)
13. Assoc(|r|;+r)
14. ∀L:bag(X) List+. (||L|| ≥ 1 )
15. Assoc(|r|;*) ∧ Comm(|r|;*)
16. ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|)
17. ∀[mul:|r| ⟶ |r| ⟶ |r|]. ∀[zero:|r|]. ∀[b:bag(bag(X) List+)]. ∀[f:bag(X) List+ ⟶ |r|].
      ∀a:|r|. (Σ(x∈b). a mul f[x] = (a mul Σ(x∈b). f[x]) ∈ |r|) 
      supposing (∃minus:|r| ⟶ |r|. IsGroup(|r|;+r;zero;minus)) ∧ Comm(|r|;+r) ∧ BiLinear(|r|;+r;mul)
⊢ Σ(L∈v). (c * (g (hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x)))) * Πa ∈ tl(L). f a
= Σ(L∈v). c * ((g (hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x))) * Πa ∈ tl(L). f a)
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[X:Type]
    \mforall{}[eq:EqDecider(X)].  \mforall{}[r:CRng].  \mforall{}[c:|r|].  \mforall{}[x:X].  \mforall{}[g,f:PowerSeries(X;r)].
        ((c)*g(x:=f)  =  (c)*g(x:=f)) 
    supposing  valueall-type(X)


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  RepUR  ``power-series  fps-scalar-mul  fps-compose  fps-coeff``  0
  THEN  EqCD
  THEN  Auto
  THEN  GenConclAtAddr  [2;3] 
  THEN  ((InstLemma  `rng\_plus\_comm`  [\mkleeneopen{}r\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)  THEN  Fold  `comm`  (-1))
  THEN  (Assert  Assoc(|r|;+r)  BY
                          RepeatFor  2  ((DVar  `r'  THEN  Auto)))
  THEN  (Assert  \mforall{}L:bag(X)  List\msupplus{}.  (||L||  \mgeq{}  1  )  BY
                          (Auto  THEN  D  -1  THEN  Auto))
  THEN  xxx(Assert  Assoc(|r|;*)  \mwedge{}  Comm(|r|;*)  BY
                                RepeatFor  2  ((DVar  `r'  THEN  Auto)))xxx
  THEN  (Assert  \mforall{}L:bag(X)  List\msupplus{}.  (\mPi{}a  \mmember{}  tl(L).  f  a  \mmember{}  |r|)  BY
                          (Auto  THEN  Using  [`T',\mkleeneopen{}bag(X)\mkleeneclose{}]  MemCD\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  ((InstLemma  `bag-summation-linear1`  [\mkleeneopen{}bag(X)  List\msupplus{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|r|\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}+r\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENM  RWO  "-1<"  0)
              THENA  (Try  (Complete  (Auto))
                            THEN  Try  ((Using  [`T',\mkleeneopen{}bag(X)  List\msupplus{}\mkleeneclose{}]  MemCD\mcdot{}  THEN  Complete  (Auto)))
                            THEN  Auto
                            THEN  Try  (((With  \mkleeneopen{}-r\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)  THEN  RepeatFor  2  ((DVar  `r'  THEN  Auto)))))
              )\mcdot{})

---

Home Index