---

Step * 1 1 1 1 2 1 of Lemma fps-geometric-slice_lemma


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. m : ℕ
6. n : ℕ+m + 1
7. g : PowerSeries(X;r)
8. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
9. IsRing(PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);0;λf.-(f);λf,g. (f*g);1)
10. upto(m + 1) ∈ bag(ℤ)
11. IsMonoid(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y);0)
12. Comm(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y))
13. ∀[R:Type]. ∀[add:R ⟶ R ⟶ R]. ∀[zero:R]. ∀[b:bag(ℤ)]. ∀[p:ℤ ⟶ 𝔹]. ∀[f:ℤ ⟶ R].
      Σ(x∈[x∈b|p[x]]). f[x] = Σ(x∈b). if p[x] then f[x] else zero fi  ∈ R supposing IsMonoid(R;add;zero) ∧ Comm(R;add)
14. k : ℤ
15. k ≠ n
16. k ≠ 0
17. k ↓∈ upto(m + 1)
⊢ 0 = ([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k) ∈ PowerSeries(X;r)
BY
{ xxx(xxxSubst' [(1-g)]_k = 0 ∈ PowerSeries(X;r) 0xxx THEN Auto)xxx }

1
.....equality..... 
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. m : ℕ
6. n : ℕ+m + 1
7. g : PowerSeries(X;r)
8. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
9. IsRing(PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);0;λf.-(f);λf,g. (f*g);1)
10. upto(m + 1) ∈ bag(ℤ)
11. IsMonoid(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y);0)
12. Comm(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y))
13. ∀[R:Type]. ∀[add:R ⟶ R ⟶ R]. ∀[zero:R]. ∀[b:bag(ℤ)]. ∀[p:ℤ ⟶ 𝔹]. ∀[f:ℤ ⟶ R].
      Σ(x∈[x∈b|p[x]]). f[x] = Σ(x∈b). if p[x] then f[x] else zero fi  ∈ R supposing IsMonoid(R;add;zero) ∧ Comm(R;add)
14. k : ℤ
15. k ≠ n
16. k ≠ 0
17. k ↓∈ upto(m + 1)
⊢ [(1-g)]_k = 0 ∈ PowerSeries(X;r)

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. m : ℕ
6. n : ℕ+m + 1
7. g : PowerSeries(X;r)
8. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
9. IsRing(PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);0;λf.-(f);λf,g. (f*g);1)
10. upto(m + 1) ∈ bag(ℤ)
11. IsMonoid(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y);0)
12. Comm(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y))
13. ∀[R:Type]. ∀[add:R ⟶ R ⟶ R]. ∀[zero:R]. ∀[b:bag(ℤ)]. ∀[p:ℤ ⟶ 𝔹]. ∀[f:ℤ ⟶ R].
      Σ(x∈[x∈b|p[x]]). f[x] = Σ(x∈b). if p[x] then f[x] else zero fi  ∈ R supposing IsMonoid(R;add;zero) ∧ Comm(R;add)
14. k : ℤ
15. k ≠ n
16. k ≠ 0
17. k ↓∈ upto(m + 1)
⊢ 0 = (0*[(1÷(1-g))]_m - k) ∈ PowerSeries(X;r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  m  :  \mBbbN{}
6.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}m  +  1
7.  g  :  PowerSeries(X;r)
8.  g  =  [g]\_n
9.  IsRing(PowerSeries(X;r);\mlambda{}f,g.  (f+g);0;\mlambda{}f.-(f);\mlambda{}f,g.  (f*g);1)
10.  upto(m  +  1)  \mmember{}  bag(\mBbbZ{})
11.  IsMonoid(PowerSeries(X;r);\mlambda{}k,y.  (k+y);0)
12.  Comm(PowerSeries(X;r);\mlambda{}k,y.  (k+y))
13.  \mforall{}[R:Type].  \mforall{}[add:R  {}\mrightarrow{}  R  {}\mrightarrow{}  R].  \mforall{}[zero:R].  \mforall{}[b:bag(\mBbbZ{})].  \mforall{}[p:\mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}].  \mforall{}[f:\mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  R].
            \mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}b|p[x]]).  f[x]  =  \mSigma{}(x\mmember{}b).  if  p[x]  then  f[x]  else  zero  fi   
            supposing  IsMonoid(R;add;zero)  \mwedge{}  Comm(R;add)
14.  k  :  \mBbbZ{}
15.  k  \mneq{}  n
16.  k  \mneq{}  0
17.  k  \mdownarrow{}\mmember{}  upto(m  +  1)
\mvdash{}  0  =  ([(1-g)]\_k*[(1\mdiv{}(1-g))]\_m  -  k)


By

---

Latex:
xxx(xxxSubst'  [(1-g)]\_k  =  0  0xxx  THEN  Auto)xxx

---

Home Index