---

Step * 2 2 of Lemma fps-product-upto


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. k : ℕ+
6. f : ℕk ⟶ PowerSeries(X;r)
7. [1, k) ∈ bag(ℕk)
8. {0} ∈ bag(ℕk)
9. upto(k - 1) ∈ bag(ℕk - 1)
10. {0} + [1, k) ∈ bag(ℕk)
11. ∀[f:ℕk ⟶ PowerSeries(X;r)]. ∀[b,c:bag(ℕk)].  (Π(x∈b + c).f[x] = (Π(x∈b).f[x]*Π(x∈c).f[x]) ∈ PowerSeries(X;r))
⊢ Π(x∈[1, k)).f[x] = Π(x∈upto(k - 1)).f[x + 1] ∈ PowerSeries(X;r)
BY
{ xxx((InstLemma `fps-product-reindex` [⌜X⌝;⌜eq⌝;⌜r⌝;⌜ℕ+k⌝;⌜ℕk - 1⌝
                                       ;⌜λx.(x + (-1))⌝;⌜λx.(x + 1)⌝;⌜f⌝;⌜[1, k)⌝]⋅
       THENA (Reduce 0 THEN Auto)
       )
      THEN Reduce (-1)
      THEN Subst' bag-map(λx.(x + (-1));[1, k)) ~ upto(k - 1) -1
      THEN Auto
      THEN All Thin
      THEN RepUR ``upto bag-map`` 0)xxx }

1
1. k : ℕ+
⊢ map(λx.(x + (-1));[1, k)) ~ [0, k - 1)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  f  :  \mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  PowerSeries(X;r)
7.  [1,  k)  \mmember{}  bag(\mBbbN{}k)
8.  \{0\}  \mmember{}  bag(\mBbbN{}k)
9.  upto(k  -  1)  \mmember{}  bag(\mBbbN{}k  -  1)
10.  \{0\}  +  [1,  k)  \mmember{}  bag(\mBbbN{}k)
11.  \mforall{}[f:\mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  PowerSeries(X;r)].  \mforall{}[b,c:bag(\mBbbN{}k)].    (\mPi{}(x\mmember{}b  +  c).f[x]  =  (\mPi{}(x\mmember{}b).f[x]*\mPi{}(x\mmember{}c).f[x]))
\mvdash{}  \mPi{}(x\mmember{}[1,  k)).f[x]  =  \mPi{}(x\mmember{}upto(k  -  1)).f[x  +  1]


By

---

Latex:
xxx((InstLemma  `fps-product-reindex`  [\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}eq\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mBbbN{}\msupplus{}k\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mBbbN{}k  -  1\mkleeneclose{}
                                                                          ;\mkleeneopen{}\mlambda{}x.(x  +  (-1))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}x.(x  +  1)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}[1,  k)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
          THENA  (Reduce  0  THEN  Auto)
          )
        THEN  Reduce  (-1)
        THEN  Subst'  bag-map(\mlambda{}x.(x  +  (-1));[1,  k))  \msim{}  upto(k  -  1)  -1
        THEN  Auto
        THEN  All  Thin
        THEN  RepUR  ``upto  bag-map``  0)xxx

---

Home Index