---

Step * 1 1 1 1 1 1 2 of Lemma extend-half-cube-face


1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
16. ∃!d:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;a;d)) ∧ (∀i:ℕk. d i ≤ c i))
17. b' : ℚCube(k)
18. ↑is-half-cube(k;b';c)
19. ∀i:ℕk. a i ≤ b' i
⊢ b' = b ∈ ℚCube(k)
BY
{ ((RWO "assert-is-half-cube" (-2) THENA Auto)
   THEN (Unfold `rational-cube` 0 THEN FunExt THEN Auto)
   THEN (Assert a x ≤ b' x ∧ (↑is-half-interval(b x;c x)) ∧ (↑is-half-interval(b' x;c x)) BY
               Auto)
   THEN (Decide ⌜x = i ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN ((HypSubst' (-1) 0 THEN HypSubst' (-1) (-2) THEN (RWO "13" (-2) THENA Auto))
   ORELSE (RWO "12" (-2) THENA Auto)
   )) }

1
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
16. ∃!d:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;a;d)) ∧ (∀i:ℕk. d i ≤ c i))
17. b' : ℚCube(k)
18. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b' i;c i))
19. ∀i:ℕk. a i ≤ b' i
20. x : ℕk
21. [fst((b i))] ≤ b' i ∧ (↑is-half-interval(b i;c i)) ∧ (↑is-half-interval(b' i;c i))
22. x = i ∈ ℤ
⊢ (b' i) = (b i) ∈ ℚInterval

2
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
16. ∃!d:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;a;d)) ∧ (∀i:ℕk. d i ≤ c i))
17. b' : ℚCube(k)
18. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b' i;c i))
19. ∀i:ℕk. a i ≤ b' i
20. x : ℕk
21. b x ≤ b' x ∧ (↑is-half-interval(b x;c x)) ∧ (↑is-half-interval(b' x;c x))
22. ¬(x = i ∈ ℤ)
⊢ (b' x) = (b x) ∈ ℚInterval

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  b  :  \mBbbQ{}Cube(k)
4.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(a  i))
6.  0  <  dim(b)
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  a  i  \mleq{}  b  i
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}is-half-interval(b  i;c  i))
9.  dim(a)  =  (dim(b)  -  1)
10.  i  :  \mBbbN{}k
11.  dim(c  i)  =  1
12.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  ((\mneg{}(j  =  i))  {}\mRightarrow{}  ((a  j)  =  (b  j)))
13.  (a  i)  =  [fst((b  i))]
14.  (fst((b  i)))  =  (fst((c  i)))
15.  (snd((b  i)))  =  qavg(fst((c  i));snd((c  i)))
16.  \mexists{}!d:\mBbbQ{}Cube(k).  ((\muparrow{}is-half-cube(k;a;d))  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}k.  d  i  \mleq{}  c  i))
17.  b'  :  \mBbbQ{}Cube(k)
18.  \muparrow{}is-half-cube(k;b';c)
19.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  a  i  \mleq{}  b'  i
\mvdash{}  b'  =  b


By

---

Latex:
((RWO  "assert-is-half-cube"  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  (Unfold  `rational-cube`  0  THEN  FunExt  THEN  Auto)
  THEN  (Assert  a  x  \mleq{}  b'  x  \mwedge{}  (\muparrow{}is-half-interval(b  x;c  x))  \mwedge{}  (\muparrow{}is-half-interval(b'  x;c  x))  BY
                          Auto)
  THEN  (Decide  \mkleeneopen{}x  =  i\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ((HypSubst'  (-1)  0  THEN  HypSubst'  (-1)  (-2)  THEN  (RWO  "13"  (-2)  THENA  Auto))
  ORELSE  (RWO  "12"  (-2)  THENA  Auto)
  ))

---

Home Index