---

Step * 1 1 1 1 3 1 1 3 of Lemma extend-half-cube-face


1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = (snd((c i))) ∈ ℚ
16. λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi  ∈ ℚCube(k)
17. ∀i@0:ℕk. a i@0 ≤ (λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi ) i@0
18. ↑is-half-cube(k;λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi ;c)
⊢ ¬((λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi ) = b ∈ ℚCube(k))
BY
{ ((((D 0 THENA Auto) THEN ApFunToHypEquands `Z' ⌜Z i⌝ ⌜ℚInterval⌝ (-1)⋅) THENA Auto)
   THEN Reduce -1
   THEN (OReduce (-1) THENA Auto)
   THEN (InstLemma `pair-eta` [⌜b i⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN HypSubst' (-1) (-2)
   THEN Thin (-1)
   THEN (EqHD (-1) THENA Auto)
   THEN All Reduce) }

1
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = (snd((c i))) ∈ ℚ
16. λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi  ∈ ℚCube(k)
17. ∀i@0:ℕk. a i@0 ≤ if (i@0 =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b i@0 fi 
18. ↑is-half-cube(k;λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi ;c)
19. (λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi ) = b ∈ ℚCube(k)
20. (fst((c i))) = (fst((b i))) ∈ ℚ
21. qavg(fst((c i));snd((c i))) = (snd((b i))) ∈ ℚ
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  b  :  \mBbbQ{}Cube(k)
4.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(a  i))
6.  0  <  dim(b)
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  a  i  \mleq{}  b  i
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}is-half-interval(b  i;c  i))
9.  dim(a)  =  (dim(b)  -  1)
10.  i  :  \mBbbN{}k
11.  dim(c  i)  =  1
12.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  ((\mneg{}(j  =  i))  {}\mRightarrow{}  ((a  j)  =  (b  j)))
13.  (a  i)  =  [fst((b  i))]
14.  (fst((b  i)))  =  qavg(fst((c  i));snd((c  i)))
15.  (snd((b  i)))  =  (snd((c  i)))
16.  \mlambda{}j.if  (j  =\msubz{}  i)  then  <fst((c  i)),  qavg(fst((c  i));snd((c  i)))>  else  b  j  fi    \mmember{}  \mBbbQ{}Cube(k)
17.  \mforall{}i@0:\mBbbN{}k
            a  i@0  \mleq{}  (\mlambda{}j.if  (j  =\msubz{}  i)  then  <fst((c  i)),  qavg(fst((c  i));snd((c  i)))>  else  b  j  fi  )  i@0
18.  \muparrow{}is-half-cube(k;\mlambda{}j.if  (j  =\msubz{}  i)  then  <fst((c  i)),  qavg(fst((c  i));snd((c  i)))>  else  b  j  fi  ;c)
\mvdash{}  \mneg{}((\mlambda{}j.if  (j  =\msubz{}  i)  then  <fst((c  i)),  qavg(fst((c  i));snd((c  i)))>  else  b  j  fi  )  =  b)


By

---

Latex:
((((D  0  THENA  Auto)  THEN  ApFunToHypEquands  `Z'  \mkleeneopen{}Z  i\mkleeneclose{}  \mkleeneopen{}\mBbbQ{}Interval\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{})  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  -1
  THEN  (OReduce  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `pair-eta`  [\mkleeneopen{}b  i\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  HypSubst'  (-1)  (-2)
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  (EqHD  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  All  Reduce)

---

Home Index