---

Step * 2 1 1 1 3 1 1 1 of Lemma faces-of-compatible-rat-cubes


1. k : ℕ
2. f : ℚCube(k)
3. g : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. d : ℚCube(k)
6. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
7. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(d i))
8. ∀i:ℕk. f i ≤ c i
9. ∀i:ℕk. g i ≤ d i
10. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(f i ⋂ g i))
11. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i ⋂ d i))
12. (∀i:ℕk. c i ⋂ d i ≤ c i) ∧ (∀i:ℕk. c i ⋂ d i ≤ d i)
13. ∀i:ℕk. (((c i) = (d i) ∈ ℚInterval) ∨ ((snd((c i))) = (fst((d i))) ∈ ℚ) ∨ ((snd((d i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ))
14. i : ℕk
15. ((c i) = (d i) ∈ ℚInterval) ∨ ((snd((c i))) = (fst((d i))) ∈ ℚ) ∨ ((snd((d i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ)
⊢ (↑Inhabited(d i))
⇒ (↑Inhabited(c i))
⇒ g i ≤ d i
⇒ f i ≤ c i
⇒ (((f i) = (g i) ∈ ℚInterval) ∨ ((snd((f i))) = (fst((g i))) ∈ ℚ) ∨ ((snd((g i))) = (fst((f i))) ∈ ℚ))
BY
{ (MoveToConcl (-1)
   THEN ((Assert ↑Inhabited(c i ⋂ d i) BY Auto) THEN MoveToConcl (-1))
   THEN (Assert ↑Inhabited(f i ⋂ g i) BY
               Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN ((GenConclTerm ⌜c i⌝⋅ THENA Auto) THEN Thin(-1) THEN D -1)
   THEN (GenConclTerm ⌜d i⌝⋅ THENA Auto)
   THEN Thin(-1)
   THEN D -1
   THEN Reduce 0
   THEN RepUR ``inhabited-rat-interval`` 0
   THEN (RW assert_pushdownC 0 THENA Auto)) }

1
1. k : ℕ
2. f : ℚCube(k)
3. g : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. d : ℚCube(k)
6. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
7. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(d i))
8. ∀i:ℕk. f i ≤ c i
9. ∀i:ℕk. g i ≤ d i
10. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(f i ⋂ g i))
11. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i ⋂ d i))
12. (∀i:ℕk. c i ⋂ d i ≤ c i) ∧ (∀i:ℕk. c i ⋂ d i ≤ d i)
13. ∀i:ℕk. (((c i) = (d i) ∈ ℚInterval) ∨ ((snd((c i))) = (fst((d i))) ∈ ℚ) ∨ ((snd((d i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ))
14. i : ℕk
15. v1 : ℚ
16. v2 : ℚ
17. v3 : ℚ
18. v4 : ℚ
⊢ (↑let a,b = f i ⋂ g i 
    in q_le(a;b))
⇒ (qmax(v1;v3) ≤ qmin(v2;v4))
⇒ ((<v1, v2> = <v3, v4> ∈ ℚInterval) ∨ (v2 = v3 ∈ ℚ) ∨ (v4 = v1 ∈ ℚ))
⇒ (v3 ≤ v4)
⇒ (v1 ≤ v2)
⇒ g i ≤ <v3, v4>
⇒ f i ≤ <v1, v2>
⇒ (((f i) = (g i) ∈ ℚInterval) ∨ ((snd((f i))) = (fst((g i))) ∈ ℚ) ∨ ((snd((g i))) = (fst((f i))) ∈ ℚ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  f  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  g  :  \mBbbQ{}Cube(k)
4.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
5.  d  :  \mBbbQ{}Cube(k)
6.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(c  i))
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(d  i))
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  f  i  \mleq{}  c  i
9.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  g  i  \mleq{}  d  i
10.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(f  i  \mcap{}  g  i))
11.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(c  i  \mcap{}  d  i))
12.  (\mforall{}i:\mBbbN{}k.  c  i  \mcap{}  d  i  \mleq{}  c  i)  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}k.  c  i  \mcap{}  d  i  \mleq{}  d  i)
13.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (((c  i)  =  (d  i))  \mvee{}  ((snd((c  i)))  =  (fst((d  i))))  \mvee{}  ((snd((d  i)))  =  (fst((c  i)))))
14.  i  :  \mBbbN{}k
15.  ((c  i)  =  (d  i))  \mvee{}  ((snd((c  i)))  =  (fst((d  i))))  \mvee{}  ((snd((d  i)))  =  (fst((c  i))))
\mvdash{}  (\muparrow{}Inhabited(d  i))
{}\mRightarrow{}  (\muparrow{}Inhabited(c  i))
{}\mRightarrow{}  g  i  \mleq{}  d  i
{}\mRightarrow{}  f  i  \mleq{}  c  i
{}\mRightarrow{}  (((f  i)  =  (g  i))  \mvee{}  ((snd((f  i)))  =  (fst((g  i))))  \mvee{}  ((snd((g  i)))  =  (fst((f  i)))))


By

---

Latex:
(MoveToConcl  (-1)
  THEN  ((Assert  \muparrow{}Inhabited(c  i  \mcap{}  d  i)  BY  Auto)  THEN  MoveToConcl  (-1))
  THEN  (Assert  \muparrow{}Inhabited(f  i  \mcap{}  g  i)  BY
                          Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  ((GenConclTerm  \mkleeneopen{}c  i\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  Thin(-1)  THEN  D  -1)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}d  i\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Thin(-1)
  THEN  D  -1
  THEN  Reduce  0
  THEN  RepUR  ``inhabited-rat-interval``  0
  THEN  (RW  assert\_pushdownC  0  THENA  Auto))

---

Home Index