---

Step * 1 1 1 1 1 2 2 1 of Lemma implies-member-rat-cube-faces


1. k : ℕ
2. c : ℚCube(k)
3. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
4. f : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. f i ≤ c i
6. Σ(dim(f i) | i < k) = (Σ(dim(c i) | i < k) - 1) ∈ ℤ
7. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(f i))
8. ∀i:ℕk. (((f i) = (c i) ∈ ℚInterval) ∨ (dim(f i) = (dim(c i) - 1) ∈ ℤ))
9. i : ℕk
10. dim(f i) = (dim(c i) - 1) ∈ ℤ
11. ¬(∃j:ℕk. ((dim(f j) = (dim(c j) - 1) ∈ ℤ) ∧ (¬(j = i ∈ ℤ))))
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((f j) = (c j) ∈ ℚInterval))
⊢ (f = lower-rc-face(c;i) ∈ ℚCube(k)) ∨ (f = upper-rc-face(c;i) ∈ ℚCube(k))
BY
{ ((Assert f i ≤ c i BY
          Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConclTerm ⌜c i⌝⋅ THENA Auto)
   THEN D -2
   THEN RepUR ``rat-interval-face`` 0
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN SplitOrHyps) }

1
1. k : ℕ
2. c : ℚCube(k)
3. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
4. f : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. f i ≤ c i
6. Σ(dim(f i) | i < k) = (Σ(dim(c i) | i < k) - 1) ∈ ℤ
7. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(f i))
8. ∀i:ℕk. (((f i) = (c i) ∈ ℚInterval) ∨ (dim(f i) = (dim(c i) - 1) ∈ ℤ))
9. i : ℕk
10. dim(f i) = (dim(c i) - 1) ∈ ℤ
11. ¬(∃j:ℕk. ((dim(f j) = (dim(c j) - 1) ∈ ℤ) ∧ (¬(j = i ∈ ℤ))))
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((f j) = (c j) ∈ ℚInterval))
13. v1 : ℚ
14. v2 : ℚ
15. (c i) = <v1, v2> ∈ ℚInterval
16. (f i) = [v1] ∈ ℚInterval
⊢ (f = lower-rc-face(c;i) ∈ ℚCube(k)) ∨ (f = upper-rc-face(c;i) ∈ ℚCube(k))

2
1. k : ℕ
2. c : ℚCube(k)
3. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
4. f : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. f i ≤ c i
6. Σ(dim(f i) | i < k) = (Σ(dim(c i) | i < k) - 1) ∈ ℤ
7. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(f i))
8. ∀i:ℕk. (((f i) = (c i) ∈ ℚInterval) ∨ (dim(f i) = (dim(c i) - 1) ∈ ℤ))
9. i : ℕk
10. dim(f i) = (dim(c i) - 1) ∈ ℤ
11. ¬(∃j:ℕk. ((dim(f j) = (dim(c j) - 1) ∈ ℤ) ∧ (¬(j = i ∈ ℤ))))
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((f j) = (c j) ∈ ℚInterval))
13. v1 : ℚ
14. v2 : ℚ
15. (c i) = <v1, v2> ∈ ℚInterval
16. (f i) = [v2] ∈ ℚInterval
⊢ (f = lower-rc-face(c;i) ∈ ℚCube(k)) ∨ (f = upper-rc-face(c;i) ∈ ℚCube(k))

3
1. k : ℕ
2. c : ℚCube(k)
3. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
4. f : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. f i ≤ c i
6. Σ(dim(f i) | i < k) = (Σ(dim(c i) | i < k) - 1) ∈ ℤ
7. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(f i))
8. ∀i:ℕk. (((f i) = (c i) ∈ ℚInterval) ∨ (dim(f i) = (dim(c i) - 1) ∈ ℤ))
9. i : ℕk
10. dim(f i) = (dim(c i) - 1) ∈ ℤ
11. ¬(∃j:ℕk. ((dim(f j) = (dim(c j) - 1) ∈ ℤ) ∧ (¬(j = i ∈ ℤ))))
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((f j) = (c j) ∈ ℚInterval))
13. v1 : ℚ
14. v2 : ℚ
15. (c i) = <v1, v2> ∈ ℚInterval
16. (f i) = <v1, v2> ∈ ℚInterval
⊢ (f = lower-rc-face(c;i) ∈ ℚCube(k)) ∨ (f = upper-rc-face(c;i) ∈ ℚCube(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(c  i))
4.  f  :  \mBbbQ{}Cube(k)
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  f  i  \mleq{}  c  i
6.  \mSigma{}(dim(f  i)  |  i  <  k)  =  (\mSigma{}(dim(c  i)  |  i  <  k)  -  1)
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(f  i))
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (((f  i)  =  (c  i))  \mvee{}  (dim(f  i)  =  (dim(c  i)  -  1)))
9.  i  :  \mBbbN{}k
10.  dim(f  i)  =  (dim(c  i)  -  1)
11.  \mneg{}(\mexists{}j:\mBbbN{}k.  ((dim(f  j)  =  (dim(c  j)  -  1))  \mwedge{}  (\mneg{}(j  =  i))))
12.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  ((\mneg{}(j  =  i))  {}\mRightarrow{}  ((f  j)  =  (c  j)))
\mvdash{}  (f  =  lower-rc-face(c;i))  \mvee{}  (f  =  upper-rc-face(c;i))


By

---

Latex:
((Assert  f  i  \mleq{}  c  i  BY
                Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}c  i\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -2
  THEN  RepUR  ``rat-interval-face``  0
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  SplitOrHyps)

---

Home Index