---

Step * 2 of Lemma q-geometric-series-converges


1. a : {a:ℚ| |a| < 1} 
2. e : {e:ℚ| 0 < e ∧ (e ≤ 1)} 
3. ¬((1 - a) = 0 ∈ ℚ)
4. |a| ∈ {q:ℚ| (0 ≤ q) ∧ q < 1} 
5. e' : {e:ℚ| 0 < e} 
6. e' = (|1 - a| * e) ∈ {e:ℚ| 0 < e} 
⊢ ∃n:ℕ. ∀m:ℕ. ((n ≤ m) ⇒ |Σ0 ≤ i < m. a ↑ i - (1/1 - a)| < e)
BY
{ ((With ⌜qlog(|a|;e')⌝ (D 0)⋅ THENA (Try ((GenConclAtAddr [2] THEN D -2 THEN Complete (Auto))) THEN Auto))⋅
   THEN (GenConclTerm ⌜qlog(|a|;e')⌝⋅ THENA Auto)
   THEN Thin (-1)
   THEN D -1
   THEN (Assert |a| ↑ v < e' BY
               (Unhide THEN Auto))
   THEN Thin (-2)
   THEN Auto
   THEN Subst ⌜|Σ0 ≤ i < m. a ↑ i - (1/1 - a)| = (|a| ↑ m/|1 - a|) ∈ ℚ⌝ 0⋅
   THEN Auto) }

1
.....equality..... 
1. a : {a:ℚ| |a| < 1} 
2. e : {e:ℚ| 0 < e ∧ (e ≤ 1)} 
3. ¬((1 - a) = 0 ∈ ℚ)
4. |a| ∈ {q:ℚ| (0 ≤ q) ∧ q < 1} 
5. e' : {e:ℚ| 0 < e} 
6. e' = (|1 - a| * e) ∈ {e:ℚ| 0 < e} 
7. v : ℕ+
8. |a| ↑ v < e'
9. m : ℕ
10. v ≤ m
⊢ |Σ0 ≤ i < m. a ↑ i - (1/1 - a)| = (|a| ↑ m/|1 - a|) ∈ ℚ

2
1. a : {a:ℚ| |a| < 1} 
2. e : {e:ℚ| 0 < e ∧ (e ≤ 1)} 
3. ¬((1 - a) = 0 ∈ ℚ)
4. |a| ∈ {q:ℚ| (0 ≤ q) ∧ q < 1} 
5. e' : {e:ℚ| 0 < e} 
6. e' = (|1 - a| * e) ∈ {e:ℚ| 0 < e} 
7. v : ℕ+
8. |a| ↑ v < e'
9. m : ℕ
10. v ≤ m
⊢ (|a| ↑ m/|1 - a|) < e

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbQ{}|  |a|  <  1\} 
2.  e  :  \{e:\mBbbQ{}|  0  <  e  \mwedge{}  (e  \mleq{}  1)\} 
3.  \mneg{}((1  -  a)  =  0)
4.  |a|  \mmember{}  \{q:\mBbbQ{}|  (0  \mleq{}  q)  \mwedge{}  q  <  1\} 
5.  e'  :  \{e:\mBbbQ{}|  0  <  e\} 
6.  e'  =  (|1  -  a|  *  e)
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  ((n  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  |\mSigma{}0  \mleq{}  i  <  m.  a  \muparrow{}  i  -  (1/1  -  a)|  <  e)


By

---

Latex:
((With  \mkleeneopen{}qlog(|a|;e')\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
    THENA  (Try  ((GenConclAtAddr  [2]  THEN  D  -2  THEN  Complete  (Auto)))  THEN  Auto)
    )\mcdot{}
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}qlog(|a|;e')\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  D  -1
  THEN  (Assert  |a|  \muparrow{}  v  <  e'  BY
                          (Unhide  THEN  Auto))
  THEN  Thin  (-2)
  THEN  Auto
  THEN  Subst  \mkleeneopen{}|\mSigma{}0  \mleq{}  i  <  m.  a  \muparrow{}  i  -  (1/1  -  a)|  =  (|a|  \muparrow{}  m/|1  -  a|)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index