---

Step * 1 2 3 2 2 2 1 2 2 of Lemma qroot


1. k : {2...}
2. n : ℕ+
3. p : ℤ
4. q : ℤ
5. 0 < q
6. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
7. ¬↑qeq(q;0)
8. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
9. s : 𝔹
10. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
11. b : ℕ+
12. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
13. c : ℕ+
14. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
15. a : ℤ
16. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
17. d : ℕ+
18. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
19. 0 ≤ p
20. X : ℕ
21. Z : ℕ+
22. B : ℕ+
23. b^k = B ∈ ℕ+
24. a * Z < X * B
25. (X * B) ≤ ((a + d) * Z)
26. (d/B) < (1/n)
27. (a/B) < (X/Z) ∧ ((X/Z) ≤ ((a/B) + (d/B)))
⊢ |(X/Z) - (a/B)| < (1/n)
BY
{ TACTIC:Assert ⌜(X/Z) < (a/B) + (1/n)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. k : {2...}
2. n : ℕ+
3. p : ℤ
4. q : ℤ
5. 0 < q
6. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
7. ¬↑qeq(q;0)
8. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
9. s : 𝔹
10. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
11. b : ℕ+
12. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
13. c : ℕ+
14. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
15. a : ℤ
16. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
17. d : ℕ+
18. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
19. 0 ≤ p
20. X : ℕ
21. Z : ℕ+
22. B : ℕ+
23. b^k = B ∈ ℕ+
24. a * Z < X * B
25. (X * B) ≤ ((a + d) * Z)
26. (d/B) < (1/n)
27. (a/B) < (X/Z) ∧ ((X/Z) ≤ ((a/B) + (d/B)))
⊢ (X/Z) < (a/B) + (1/n)

2
1. k : {2...}
2. n : ℕ+
3. p : ℤ
4. q : ℤ
5. 0 < q
6. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
7. ¬↑qeq(q;0)
8. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
9. s : 𝔹
10. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
11. b : ℕ+
12. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
13. c : ℕ+
14. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
15. a : ℤ
16. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
17. d : ℕ+
18. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
19. 0 ≤ p
20. X : ℕ
21. Z : ℕ+
22. B : ℕ+
23. b^k = B ∈ ℕ+
24. a * Z < X * B
25. (X * B) ≤ ((a + d) * Z)
26. (d/B) < (1/n)
27. (a/B) < (X/Z) ∧ ((X/Z) ≤ ((a/B) + (d/B)))
28. (X/Z) < (a/B) + (1/n)
⊢ |(X/Z) - (a/B)| < (1/n)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \{2...\}
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  p  :  \mBbbZ{}
4.  q  :  \mBbbZ{}
5.  0  <  q
6.  \mneg{}(q  =  0)
7.  \mneg{}\muparrow{}qeq(q;0)
8.  (0  \mleq{}  (p/q))  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(k))
9.  s  :  \mBbbB{}
10.  s  =  (q  =\msubz{}  1)  \mwedge{}\msubb{}  (n  =\msubz{}  1)
11.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  b  =  if  s  then  2  else  q  *  n  fi 
13.  c  :  \mBbbN{}\msupplus{}
14.  c  =  b\^{}(k  -  1)
15.  a  :  \mBbbZ{}
16.  a  =  if  s  then  p  *  2  *  c  else  p  *  n  *  c  fi 
17.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  d  =  (if  s  then  2  *  c  else  c  fi    -  1)
19.  0  \mleq{}  p
20.  X  :  \mBbbN{}
21.  Z  :  \mBbbN{}\msupplus{}
22.  B  :  \mBbbN{}\msupplus{}
23.  b\^{}k  =  B
24.  a  *  Z  <  X  *  B
25.  (X  *  B)  \mleq{}  ((a  +  d)  *  Z)
26.  (d/B)  <  (1/n)
27.  (a/B)  <  (X/Z)  \mwedge{}  ((X/Z)  \mleq{}  ((a/B)  +  (d/B)))
\mvdash{}  |(X/Z)  -  (a/B)|  <  (1/n)


By

---

Latex:
TACTIC:Assert  \mkleeneopen{}(X/Z)  <  (a/B)  +  (1/n)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index