---

Step * 3 2 1 1 1 2 2 1 2 of Lemma rat-complex-boundary-remove1


1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. c : ℚCube(k)
5. (c ∈ K)
6. f : ℚCube(k)
7. ¬((∃c:ℚCube(k). ((c ∈ K) ∧ (↑Inhabited(c)) ∧ f ≤ c ∧ (dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ))) ∧ (↑in-complex-boundary(k;f;K)))
8. f ≤ c
9. dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ
10. u : ℚCube(k)
11. u1 : ℚCube(k)
12. v : ℚCube(k) List
13. filter(λc.is-rat-cube-face(k;f;c);K) = [u; [u1 / v]] ∈ (ℚCube(k) List)
14. ↑isEven(||[u; [u1 / v]]||)
15. (c ∈ [u; [u1 / v]])
16. ¬(c = u ∈ ℚCube(k))
⊢ ∃c1:ℚCube(k). (((c1 ∈ K) ∧ (¬(c1 = c ∈ ℚCube(k)))) ∧ (↑Inhabited(c1)) ∧ f ≤ c1 ∧ (dim(f) = (dim(c1) - 1) ∈ ℤ))
BY
{ ((Assert (u ∈ filter(λc.is-rat-cube-face(k;f;c);K)) BY
          (RWO "-4" 0 THEN Auto))
   THEN (RWO "member_filter" (-1) THENA Auto)
   THEN Reduce -1
   THEN (RWO "assert-is-rat-cube-face" (-1) THENA Auto)
   THEN (Assert dim(u) = dim(c) ∈ ℤ BY
               ((DVar  `K' THEN Auto) THEN (RWO "l_all_iff" 6 THENA Auto) THEN RWO "6" 0 THEN Auto))
   THEN (Assert dim(u) = n ∈ ℤ BY
               ((DVar  `K' THEN Auto) THEN (RWO "l_all_iff" 6 THENA Auto) THEN RWO "6" 0 THEN Auto))
   THEN D 0 With ⌜u⌝ 
   THEN Auto
   THEN Unfold `rat-cube-dimension` -3
   THEN SplitOnHypITE -3 
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  K  :  n-dim-complex
4.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
5.  (c  \mmember{}  K)
6.  f  :  \mBbbQ{}Cube(k)
7.  \mneg{}((\mexists{}c:\mBbbQ{}Cube(k).  ((c  \mmember{}  K)  \mwedge{}  (\muparrow{}Inhabited(c))  \mwedge{}  f  \mleq{}  c  \mwedge{}  (dim(f)  =  (dim(c)  -  1))))
\mwedge{}  (\muparrow{}in-complex-boundary(k;f;K)))
8.  f  \mleq{}  c
9.  dim(f)  =  (dim(c)  -  1)
10.  u  :  \mBbbQ{}Cube(k)
11.  u1  :  \mBbbQ{}Cube(k)
12.  v  :  \mBbbQ{}Cube(k)  List
13.  filter(\mlambda{}c.is-rat-cube-face(k;f;c);K)  =  [u;  [u1  /  v]]
14.  \muparrow{}isEven(||[u;  [u1  /  v]]||)
15.  (c  \mmember{}  [u;  [u1  /  v]])
16.  \mneg{}(c  =  u)
\mvdash{}  \mexists{}c1:\mBbbQ{}Cube(k).  (((c1  \mmember{}  K)  \mwedge{}  (\mneg{}(c1  =  c)))  \mwedge{}  (\muparrow{}Inhabited(c1))  \mwedge{}  f  \mleq{}  c1  \mwedge{}  (dim(f)  =  (dim(c1)  -  1)))


By

---

Latex:
((Assert  (u  \mmember{}  filter(\mlambda{}c.is-rat-cube-face(k;f;c);K))  BY
                (RWO  "-4"  0  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "member\_filter"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  -1
  THEN  (RWO  "assert-is-rat-cube-face"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  dim(u)  =  dim(c)  BY
                          ((DVar    `K'  THEN  Auto)  THEN  (RWO  "l\_all\_iff"  6  THENA  Auto)  THEN  RWO  "6"  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  dim(u)  =  n  BY
                          ((DVar    `K'  THEN  Auto)  THEN  (RWO  "l\_all\_iff"  6  THENA  Auto)  THEN  RWO  "6"  0  THEN  Auto))
  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}u\mkleeneclose{} 
  THEN  Auto
  THEN  Unfold  `rat-cube-dimension`  -3
  THEN  SplitOnHypITE  -3 
  THEN  Auto)

---

Home Index