---

Step * 2 1 1 1 1 1 2 1 2 of Lemma rat-complex-boundary-subdiv


1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. c : ℚCube(k)
6. ↑Inhabited(c)
7. dim(c) = (n - 1) ∈ ℤ
8. ↑in-complex-boundary(k;c;(K)')
9. dim(c) = (n - 1) ∈ ℤ
10. a : ℚCube(k)
11. u : ℚCube(k)
12. (a ∈ K)
13. ↑is-half-cube(k;u;a)
14. c ≤ u
15. dim(a) = n ∈ ℤ
16. ↑Inhabited(a)
17. dim(u) = dim(a) ∈ ℤ
18. b' : ℚCube(k)
19. c ≤ b'
20. ↑is-half-cube(k;b';a)
21. ¬(b' = u ∈ ℚCube(k))
22. ∀y:ℚCube(k). ((c ≤ y ∧ (↑is-half-cube(k;y;a)) ∧ (¬(y = u ∈ ℚCube(k)))) ⇒ (y = b' ∈ ℚCube(k)))
23. has-interior-point(k;c;a)
24. ∀x:ℚCube(k). ((x ∈ filter(λc@0.is-rat-cube-face(k;c;c@0);(K)')) ⇐⇒ (x = u ∈ ℚCube(k)) ∨ (x = b' ∈ ℚCube(k)))
⊢ (↑isOdd(||filter(λc@0.is-rat-cube-face(k;c;c@0);(K)')||)) ⇒ False
BY
{ Subst' ||filter(λc@0.is-rat-cube-face(k;c;c@0);(K)')|| = ||[u; b']|| ∈ ℤ 0 }

1
.....equality..... 
1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. c : ℚCube(k)
6. ↑Inhabited(c)
7. dim(c) = (n - 1) ∈ ℤ
8. ↑in-complex-boundary(k;c;(K)')
9. dim(c) = (n - 1) ∈ ℤ
10. a : ℚCube(k)
11. u : ℚCube(k)
12. (a ∈ K)
13. ↑is-half-cube(k;u;a)
14. c ≤ u
15. dim(a) = n ∈ ℤ
16. ↑Inhabited(a)
17. dim(u) = dim(a) ∈ ℤ
18. b' : ℚCube(k)
19. c ≤ b'
20. ↑is-half-cube(k;b';a)
21. ¬(b' = u ∈ ℚCube(k))
22. ∀y:ℚCube(k). ((c ≤ y ∧ (↑is-half-cube(k;y;a)) ∧ (¬(y = u ∈ ℚCube(k)))) ⇒ (y = b' ∈ ℚCube(k)))
23. has-interior-point(k;c;a)
24. ∀x:ℚCube(k). ((x ∈ filter(λc@0.is-rat-cube-face(k;c;c@0);(K)')) ⇐⇒ (x = u ∈ ℚCube(k)) ∨ (x = b' ∈ ℚCube(k)))
⊢ ||filter(λc@0.is-rat-cube-face(k;c;c@0);(K)')|| = ||[u; b']|| ∈ ℤ

2
1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
5. c : ℚCube(k)
6. ↑Inhabited(c)
7. dim(c) = (n - 1) ∈ ℤ
8. ↑in-complex-boundary(k;c;(K)')
9. dim(c) = (n - 1) ∈ ℤ
10. a : ℚCube(k)
11. u : ℚCube(k)
12. (a ∈ K)
13. ↑is-half-cube(k;u;a)
14. c ≤ u
15. dim(a) = n ∈ ℤ
16. ↑Inhabited(a)
17. dim(u) = dim(a) ∈ ℤ
18. b' : ℚCube(k)
19. c ≤ b'
20. ↑is-half-cube(k;b';a)
21. ¬(b' = u ∈ ℚCube(k))
22. ∀y:ℚCube(k). ((c ≤ y ∧ (↑is-half-cube(k;y;a)) ∧ (¬(y = u ∈ ℚCube(k)))) ⇒ (y = b' ∈ ℚCube(k)))
23. has-interior-point(k;c;a)
24. ∀x:ℚCube(k). ((x ∈ filter(λc@0.is-rat-cube-face(k;c;c@0);(K)')) ⇐⇒ (x = u ∈ ℚCube(k)) ∨ (x = b' ∈ ℚCube(k)))
⊢ (↑isOdd(||[u; b']||)) ⇒ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  K  :  n-dim-complex
4.  \mneg{}(n  =  0)
5.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
6.  \muparrow{}Inhabited(c)
7.  dim(c)  =  (n  -  1)
8.  \muparrow{}in-complex-boundary(k;c;(K)')
9.  dim(c)  =  (n  -  1)
10.  a  :  \mBbbQ{}Cube(k)
11.  u  :  \mBbbQ{}Cube(k)
12.  (a  \mmember{}  K)
13.  \muparrow{}is-half-cube(k;u;a)
14.  c  \mleq{}  u
15.  dim(a)  =  n
16.  \muparrow{}Inhabited(a)
17.  dim(u)  =  dim(a)
18.  b'  :  \mBbbQ{}Cube(k)
19.  c  \mleq{}  b'
20.  \muparrow{}is-half-cube(k;b';a)
21.  \mneg{}(b'  =  u)
22.  \mforall{}y:\mBbbQ{}Cube(k).  ((c  \mleq{}  y  \mwedge{}  (\muparrow{}is-half-cube(k;y;a))  \mwedge{}  (\mneg{}(y  =  u)))  {}\mRightarrow{}  (y  =  b'))
23.  has-interior-point(k;c;a)
24.  \mforall{}x:\mBbbQ{}Cube(k).  ((x  \mmember{}  filter(\mlambda{}c@0.is-rat-cube-face(k;c;c@0);(K)'))  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (x  =  u)  \mvee{}  (x  =  b'))
\mvdash{}  (\muparrow{}isOdd(||filter(\mlambda{}c@0.is-rat-cube-face(k;c;c@0);(K)')||))  {}\mRightarrow{}  False


By

---

Latex:
Subst'  ||filter(\mlambda{}c@0.is-rat-cube-face(k;c;c@0);(K)')||  =  ||[u;  b']||  0

---

Home Index