---

Step * 1 1 of Lemma functor-is-isomorphism


1. [A] : SmallCategory
2. [B] : SmallCategory
3. f : Functor(A;B)@i
4. g : Functor(B;A)@i
5. functor-comp(f;g) = 1 ∈ Functor(A;A)
6. functor-comp(g;f) = 1 ∈ Functor(B;B)
7. ∀a:cat-ob(A). ((g (f a)) = a ∈ cat-ob(A))
8. ∀b:cat-ob(B). ((f (g b)) = b ∈ cat-ob(B))
⊢ Bij(cat-ob(A);cat-ob(B);ob(f)) ∧ (∀x,y:cat-ob(A).  Bij(cat-arrow(A) x y;cat-arrow(B) (f x) (f y);f x y))
BY
{ D 0 }

1
1. [A] : SmallCategory
2. [B] : SmallCategory
3. f : Functor(A;B)@i
4. g : Functor(B;A)@i
5. functor-comp(f;g) = 1 ∈ Functor(A;A)
6. functor-comp(g;f) = 1 ∈ Functor(B;B)
7. ∀a:cat-ob(A). ((g (f a)) = a ∈ cat-ob(A))
8. ∀b:cat-ob(B). ((f (g b)) = b ∈ cat-ob(B))
⊢ Bij(cat-ob(A);cat-ob(B);ob(f))

2
1. [A] : SmallCategory
2. [B] : SmallCategory
3. f : Functor(A;B)@i
4. g : Functor(B;A)@i
5. functor-comp(f;g) = 1 ∈ Functor(A;A)
6. functor-comp(g;f) = 1 ∈ Functor(B;B)
7. ∀a:cat-ob(A). ((g (f a)) = a ∈ cat-ob(A))
8. ∀b:cat-ob(B). ((f (g b)) = b ∈ cat-ob(B))
⊢ ∀x,y:cat-ob(A).  Bij(cat-arrow(A) x y;cat-arrow(B) (f x) (f y);f x y)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  SmallCategory
2.  [B]  :  SmallCategory
3.  f  :  Functor(A;B)@i
4.  g  :  Functor(B;A)@i
5.  functor-comp(f;g)  =  1
6.  functor-comp(g;f)  =  1
7.  \mforall{}a:cat-ob(A).  ((g  (f  a))  =  a)
8.  \mforall{}b:cat-ob(B).  ((f  (g  b))  =  b)
\mvdash{}  Bij(cat-ob(A);cat-ob(B);ob(f))
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:cat-ob(A).    Bij(cat-arrow(A)  x  y;cat-arrow(B)  (f  x)  (f  y);f  x  y))


By

---

Latex:
D  0

---

Home Index