---

Step * 3 1 of Lemma member-bs_tree_delete


1. [E] : Type
2. cmp : comparison(E)
3. x : E
4. left : bs_tree(E)
5. value : E
6. right : bs_tree(E)
7. bs_tree_ordered(E;cmp;left) ⇒ (∀z:E. (z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;left) ⇐⇒ z ∈ left ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ))))
8. bs_tree_ordered(E;cmp;right) ⇒ (∀z:E. (z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;right) ⇐⇒ z ∈ right ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ))))
9. bs_tree_ordered(E;cmp;bst_node(left;value;right))
10. z : E
⊢ z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;bst_node(left;value;right)) ⇐⇒ z ∈ bst_node(left;value;right) ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ))
BY
{ (InstLemma `bs_tree_max_wf` [⌜E⌝;⌜cmp⌝;⌜left⌝;⌜value⌝]⋅
   THENA (Auto THEN RepUR ``bs_tree_ordered`` -2 THEN Fold `bs_tree_ordered` (-2) THEN Auto)
   ) }

1
1. [E] : Type
2. cmp : comparison(E)
3. x : E
4. left : bs_tree(E)
5. value : E
6. right : bs_tree(E)
7. bs_tree_ordered(E;cmp;left) ⇒ (∀z:E. (z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;left) ⇐⇒ z ∈ left ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ))))
8. bs_tree_ordered(E;cmp;right) ⇒ (∀z:E. (z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;right) ⇐⇒ z ∈ right ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ))))
9. bs_tree_ordered(E;cmp;bst_node(left;value;right))
10. z : E
11. bs_tree_max(left;value) ∈ {p:E × ordered_bs_tree(E;cmp)| 
                               let m,t = p 
                               in (∀x:E. (x ∈ left ⇒ (x ∈ t ∨ (x = m ∈ E))))
                                  ∧ ((¬↑bst_null?(left)) ⇒ m ∈ left)
                                  ∧ (∀x:E. (x ∈ t ⇒ (x ∈ left ∧ 0 < cmp x m)))} 
⊢ z ∈ bs_tree_delete(cmp;x;bst_node(left;value;right)) ⇐⇒ z ∈ bst_node(left;value;right) ∧ (¬((cmp z x) = 0 ∈ ℤ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [E]  :  Type
2.  cmp  :  comparison(E)
3.  x  :  E
4.  left  :  bs\_tree(E)
5.  value  :  E
6.  right  :  bs\_tree(E)
7.  bs\_tree\_ordered(E;cmp;left)
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}z:E.  (z  \mmember{}  bs\_tree\_delete(cmp;x;left)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  z  \mmember{}  left  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  z  x)  =  0))))
8.  bs\_tree\_ordered(E;cmp;right)
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}z:E.  (z  \mmember{}  bs\_tree\_delete(cmp;x;right)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  z  \mmember{}  right  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  z  x)  =  0))))
9.  bs\_tree\_ordered(E;cmp;bst\_node(left;value;right))
10.  z  :  E
\mvdash{}  z  \mmember{}  bs\_tree\_delete(cmp;x;bst\_node(left;value;right))
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  z  \mmember{}  bst\_node(left;value;right)  \mwedge{}  (\mneg{}((cmp  z  x)  =  0))


By

---

Latex:
(InstLemma  `bs\_tree\_max\_wf`  [\mkleeneopen{}E\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}cmp\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}left\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}value\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THENA  (Auto  THEN  RepUR  ``bs\_tree\_ordered``  -2  THEN  Fold  `bs\_tree\_ordered`  (-2)  THEN  Auto)
  )

---

Home Index