---

Step * 2 2 1 1 1 1 2 of Lemma groupoid-edges-commute


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(fst(G));I;J;x;i)
7. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
8. f : name-morph(I;[])
9. a : nameset(I)
10. (f a) = 0 ∈ ℕ2
11. b : nameset(I)
12. (f b) = 0 ∈ ℕ2
13. ¬(a = b ∈ nameset(I))
14. ¬(∃v∈box. (¬(dimension(v) = b ∈ Cname)) ∧ (¬(dimension(v) = a ∈ Cname)) ∧ (direction(v) = (f dimension(v)) ∈ ℕ2))
15. (∀j∈J.(j = a ∈ Cname) ∨ (j = b ∈ Cname))
16. (a ∈ J)
17. (b ∈ J)
18. ¬(x = a ∈ Cname)
19. ¬(x = b ∈ Cname)
20. ¬((f x) = i ∈ ℕ2)
21. eq-cname(a;b) ~ ff
22. eq-cname(b;a) ~ eq-cname(a;b)
23. (flip(f;x) a) = 0 ∈ ℕ2
24. (flip(f;b) a) = 0 ∈ ℕ2
25. (flip(f;x) b) = 0 ∈ ℕ2
26. (flip(f;a) b) = 0 ∈ ℕ2
27. (flip(flip(f;x);b) a) = 0 ∈ ℕ2
28. (flip(flip(f;x);a) b) = 0 ∈ ℕ2
29. uiff(nerve_box_edge(box;flip(f;x);b) o nerve_box_edge(box;flip(flip(f;x);b);a)
         = nerve_box_edge(box;flip(f;x);a) o nerve_box_edge(box;flip(flip(f;x);a);b);nerve_box_edge(box;f;b) o ...
                                                                                     = nerve_box_edge(box;f;a) o ...)
⊢ (cat-comp(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;a);b))
= (cat-comp(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;b)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
   nerve_box_edge(box;f;b) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;b);a))
∈ (cat-arrow(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)))
BY
{ TACTIC:Unfold `cat-square-commutes` -1 }

1
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : open_box(cubical-nerve(fst(G));I;J;x;i)
7. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
8. f : name-morph(I;[])
9. a : nameset(I)
10. (f a) = 0 ∈ ℕ2
11. b : nameset(I)
12. (f b) = 0 ∈ ℕ2
13. ¬(a = b ∈ nameset(I))
14. ¬(∃v∈box. (¬(dimension(v) = b ∈ Cname)) ∧ (¬(dimension(v) = a ∈ Cname)) ∧ (direction(v) = (f dimension(v)) ∈ ℕ2))
15. (∀j∈J.(j = a ∈ Cname) ∨ (j = b ∈ Cname))
16. (a ∈ J)
17. (b ∈ J)
18. ¬(x = a ∈ Cname)
19. ¬(x = b ∈ Cname)
20. ¬((f x) = i ∈ ℕ2)
21. eq-cname(a;b) ~ ff
22. eq-cname(b;a) ~ eq-cname(a;b)
23. (flip(f;x) a) = 0 ∈ ℕ2
24. (flip(f;b) a) = 0 ∈ ℕ2
25. (flip(f;x) b) = 0 ∈ ℕ2
26. (flip(f;a) b) = 0 ∈ ℕ2
27. (flip(flip(f;x);b) a) = 0 ∈ ℕ2
28. (flip(flip(f;x);a) b) = 0 ∈ ℕ2
29. uiff((cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;flip(f;x)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;x);b)) 
          nerve_box_label(box;flip(flip(flip(f;x);a);b)) 
          nerve_box_edge(box;flip(f;x);b) 
          nerve_box_edge(box;flip(flip(f;x);b);a))
= (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;flip(f;x)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;x);a)) 
   nerve_box_label(box;flip(flip(flip(f;x);a);b)) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;x);a) 
   nerve_box_edge(box;flip(flip(f;x);a);b))
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;flip(f;x)) 
   nerve_box_label(box;flip(flip(flip(f;x);a);b)));(cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) 
                                                    nerve_box_label(box;flip(f;b)) 
                                                    nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
                                                    nerve_box_edge(box;f;b) 
                                                    nerve_box_edge(box;flip(f;b);a))
= (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;a);b))
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b))))
⊢ (cat-comp(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;a);b))
= (cat-comp(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;b)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
   nerve_box_edge(box;f;b) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;b);a))
∈ (cat-arrow(fst(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);b)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  box  :  open\_box(cubical-nerve(fst(G));I;J;x;i)
7.  (\mexists{}j1\mmember{}J.  (\mexists{}j2\mmember{}J.  \mneg{}(j1  =  j2)))
8.  f  :  name-morph(I;[])
9.  a  :  nameset(I)
10.  (f  a)  =  0
11.  b  :  nameset(I)
12.  (f  b)  =  0
13.  \mneg{}(a  =  b)
14.  \mneg{}(\mexists{}v\mmember{}box.  (\mneg{}(dimension(v)  =  b))  \mwedge{}  (\mneg{}(dimension(v)  =  a))  \mwedge{}  (direction(v)  =  (f  dimension(v))))
15.  (\mforall{}j\mmember{}J.(j  =  a)  \mvee{}  (j  =  b))
16.  (a  \mmember{}  J)
17.  (b  \mmember{}  J)
18.  \mneg{}(x  =  a)
19.  \mneg{}(x  =  b)
20.  \mneg{}((f  x)  =  i)
21.  eq-cname(a;b)  \msim{}  ff
22.  eq-cname(b;a)  \msim{}  eq-cname(a;b)
23.  (flip(f;x)  a)  =  0
24.  (flip(f;b)  a)  =  0
25.  (flip(f;x)  b)  =  0
26.  (flip(f;a)  b)  =  0
27.  (flip(flip(f;x);b)  a)  =  0
28.  (flip(flip(f;x);a)  b)  =  0
29.  uiff(nerve\_box\_edge(box;flip(f;x);b)  o  nerve\_box\_edge(box;flip(flip(f;x);b);a)
                  =  nerve\_box\_edge(box;flip(f;x);a)  o  nerve\_box\_edge(box;flip(flip(f;x);a);b);...  o  ...
                                                                                                                                                                          =  ...  o  ...)
\mvdash{}  (cat-comp(fst(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;a)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);b)) 
      nerve\_box\_edge(box;f;a) 
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;a);b))
=  (cat-comp(fst(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;b)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;b);a)) 
      nerve\_box\_edge(box;f;b) 
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;b);a))


By

---

Latex:
TACTIC:Unfold  `cat-square-commutes`  -1

---

Home Index