---

Step * 2 2 2 1 1 1 of Lemma path-in-union


1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. f : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A + B)
4. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')
5. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isl(f@x) ∈ 𝔹)
6. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isr(f@x) ∈ 𝔹)
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  isl(f@x) = isl(f@y)
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
9. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
⊢ λx.outr(f x) ∈ {f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(B)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')}\000C 
BY
{ (MemTypeCD THENW Auto) }

1
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. f : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A + B)
4. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')
5. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isl(f@x) ∈ 𝔹)
6. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isr(f@x) ∈ 𝔹)
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  isl(f@x) = isl(f@y)
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
9. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
⊢ λx.outr(f x) ∈ {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(B)

2
.....set predicate..... 
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. f : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A + B)
4. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')
5. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isl(f@x) ∈ 𝔹)
6. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isr(f@x) ∈ 𝔹)
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  isl(f@x) = isl(f@y)
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
9. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
⊢ ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ (λx.outr(f x)) t ≡ (λx.outr(f x)) t')

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SeparationSpace
2.  B  :  SeparationSpace
3.  f  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}    {}\mrightarrow{}  Point(A  +  B)
4.  \mforall{}t,t':\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .    (t  \mequiv{}  t'  {}\mRightarrow{}  f  t  \mequiv{}  f  t')
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (isl(f@x)  \mmember{}  \mBbbB{})
6.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (isr(f@x)  \mmember{}  \mBbbB{})
7.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    isl(f@x)  =  isl(f@y)
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(f@x))
9.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(f@x))
\mvdash{}  \mlambda{}x.outr(f  x)  \mmember{}  \{f:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}    {}\mrightarrow{}  Point(B)| 
                                    \mforall{}t,t':\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .    (t  \mequiv{}  t'  {}\mRightarrow{}  f  t  \mequiv{}  f  t')\} 


By

---

Latex:
(MemTypeCD  THENW  Auto)

---

Home Index