---

Step * 1 2 of Lemma NoBallRetraction-implies-BrouwerFPT


1. n : ℕ
2. NoBallRetraction(n)
3. f : B(n) ⟶ B(n)
4. ∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;f x;f y))
5. ∀x:B(n). f x ≠ x
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
⊢ False
BY
{ (D 2
   THEN (Assert ∀x:B(n). (r0 < x - f x⋅x - f x) BY
               (ParallelOp -2 THEN BLemma `real-vec-sep-iff-dot-product` THEN Auto))
   THEN (Assert ∀x:B(n). ((f x⋅f x - r1) ≤ r0) BY
               ((D 0 THENA Auto)
                THEN nRAdd ⌜r1⌝ 0⋅
                THEN (RWO "real-vec-norm-squared<" 0 THENA Auto)
                THEN (GenConclTerm ⌜f x⌝⋅ THENA Auto)
                THEN Thin (-1)
                THEN D -1
                THEN (Unhide  THENA Auto)
                THEN (RWO "-1" 0 THEN Auto)
                THEN RWO "rnexp-one" 0
                THEN Auto))) }

1
1. n : ℕ
2. f : B(n) ⟶ B(n)
3. ∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;f x;f y))
4. ∀x:B(n). f x ≠ x
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. ∀x:B(n). (r0 < x - f x⋅x - f x)
7. ∀x:B(n). ((f x⋅f x - r1) ≤ r0)
⊢ ∃g:B(n) ⟶ B(n)
   ((∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;g x;g y)))
   ∧ (∀x:B(n). (||g x|| = r1))
   ∧ (∀x:B(n). ((||x|| = r1) ⇒ req-vec(n;g x;x))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  NoBallRetraction(n)
3.  f  :  B(n)  {}\mrightarrow{}  B(n)
4.  \mforall{}x,y:B(n).    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n;f  x;f  y))
5.  \mforall{}x:B(n).  f  x  \mneq{}  x
6.  \mneg{}(n  =  0)
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
(D  2
  THEN  (Assert  \mforall{}x:B(n).  (r0  <  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x)  BY
                          (ParallelOp  -2  THEN  BLemma  `real-vec-sep-iff-dot-product`  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mforall{}x:B(n).  ((f  x\mcdot{}f  x  -  r1)  \mleq{}  r0)  BY
                          ((D  0  THENA  Auto)
                            THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}r1\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                            THEN  (RWO  "real-vec-norm-squared<"  0  THENA  Auto)
                            THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}f  x\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  Thin  (-1)
                            THEN  D  -1
                            THEN  (Unhide    THENA  Auto)
                            THEN  (RWO  "-1"  0  THEN  Auto)
                            THEN  RWO  "rnexp-one"  0
                            THEN  Auto)))

---

Home Index