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Step * 1 of Lemma real-unit-ball-totally-bounded


1. n : ℕ
2. k : ℕ+
3. ∀p:B(n). ∃q:unit-ball-approx(n;k * 8 * n). (d(p;approx-ball-to-ball(k * 8 * n;q)) ≤ (r1/r(k)))
4. L : unit-ball-approx(n;k * 8 * n) List
5. no_repeats(unit-ball-approx(n;k * 8 * n);L)
6. ∀x:unit-ball-approx(n;k * 8 * n). (x ∈ L)
⊢ ∃L:{p:B(n)| rational-vec(n;p)}  List [(∀p:B(n). ∃i:ℕ||L||. (d(p;L[i]) ≤ (r1/r(k))))]
BY
{ (D 0 With ⌜map(λq.approx-ball-to-ball(k * 8 * n;q);L)⌝  THENA Auto) }

1
1. n : ℕ
2. k : ℕ+
3. ∀p:B(n). ∃q:unit-ball-approx(n;k * 8 * n). (d(p;approx-ball-to-ball(k * 8 * n;q)) ≤ (r1/r(k)))
4. L : unit-ball-approx(n;k * 8 * n) List
5. no_repeats(unit-ball-approx(n;k * 8 * n);L)
6. ∀x:unit-ball-approx(n;k * 8 * n). (x ∈ L)
7. q : unit-ball-approx(n;k * 8 * n)
⊢ approx-ball-to-ball(k * 8 * n;q) ∈ {p:B(n)| rational-vec(n;p)} 

2
1. n : ℕ
2. k : ℕ+
3. ∀p:B(n). ∃q:unit-ball-approx(n;k * 8 * n). (d(p;approx-ball-to-ball(k * 8 * n;q)) ≤ (r1/r(k)))
4. L : unit-ball-approx(n;k * 8 * n) List
5. no_repeats(unit-ball-approx(n;k * 8 * n);L)
6. ∀x:unit-ball-approx(n;k * 8 * n). (x ∈ L)
⊢ ∀p:B(n)
    ∃i:ℕ||map(λq.approx-ball-to-ball(k * 8 * n;q);L)||. (d(p;map(λq.approx-ball-to-ball(k * 8 * n;q);L)[i]) ≤ (r1/r(k)))

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Latex:

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Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  \mforall{}p:B(n).  \mexists{}q:unit-ball-approx(n;k  *  8  *  n).  (d(p;approx-ball-to-ball(k  *  8  *  n;q))  \mleq{}  (r1/r(k)))
4.  L  :  unit-ball-approx(n;k  *  8  *  n)  List
5.  no\_repeats(unit-ball-approx(n;k  *  8  *  n);L)
6.  \mforall{}x:unit-ball-approx(n;k  *  8  *  n).  (x  \mmember{}  L)
\mvdash{}  \mexists{}L:\{p:B(n)|  rational-vec(n;p)\}    List  [(\mforall{}p:B(n).  \mexists{}i:\mBbbN{}||L||.  (d(p;L[i])  \mleq{}  (r1/r(k))))]


By

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Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}map(\mlambda{}q.approx-ball-to-ball(k  *  8  *  n;q);L)\mkleeneclose{}    THENA  Auto)

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