Proof of Nuprl Lemma : unit-ball-to-unit-cube

Step * 2 2 2 2 of Lemma unit-ball-to-unit-cube

1. n : ℕ⁺
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)

11. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}

⊢ (∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0))

∧ (∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p)

∧ (h ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} )
∧ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)

∧ (∀x,y:{p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} .  (mdist(max-metric(n);h x;h y) ≤ (r((2 * n) + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y))))

BY
{ Auto }

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1. n : ℕ⁺
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)

11. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}

12. p : ℝ^n
13. req-vec(n;p;λi.r0)
⊢ h p ≡ λi.r0

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1. n : ℕ⁺
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)

11. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}

12. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
13. p : {p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)}
⊢ h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p

3
1. n : ℕ⁺
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)

11. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}

12. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)

13. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p

⊢ h ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}

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1. n : ℕ⁺
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)

11. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}

12. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)

13. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p

14. h ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}
⊢ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)

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1. n : ℕ⁺
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)

11. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}

12. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)

13. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p

14. h ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}
15. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
16. x : {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}
17. y : {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}
⊢ mdist(max-metric(n);h x;h y) ≤ (r((2 * n) + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y))

Latex:

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1. n : \mBbbN{}\msupplus{} 2. \mlambda{}i.r0 \mmember{} \mBbbR{}\^{}n 3. max-metric(n) \mleq{} rn-metric(n) 4. rn-metric(n) \mleq{} r(n)*max-metric(n) 5. \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n. (r0 < ||p|| \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{} r0 < mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)) 6. \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p \mmember{} \mBbbR{}\^{}n) 7. h : \mBbbR{}\^{}n {}\mrightarrow{} \mBbbR{}\^{}n 8. \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n. (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0) {}\mRightarrow{} h p \mequiv{} \mlambda{}i.r0) 9. \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\} . h p \mequiv{} (||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p 10. \mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p:FUN(\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\} ;\mBbbR{}\^{}n) {}\000C\mRightarrow{} h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n) 11. h \mmember{} \{q:\mBbbR{}\^{}n| mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q) \mleq{} r1\} {}\mrightarrow{} \{q:\mBbbR{}\^{}n| mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q) \mleq{} r1\} \mvdash{} (\mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n. (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0) {}\mRightarrow{} h p \mequiv{} \mlambda{}i.r0)) \mwedge{} (\mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)\} h p \mequiv{} (\mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p) p) \mwedge{} (h \mmember{} \{p:\mBbbR{}\^{}n| ||p|| \mleq{} r1\} {}\mrightarrow{} \{q:\mBbbR{}\^{}n| mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q) \mleq{} r1\} ) \mwedge{} h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n) \mwedge{} (\mforall{}x,y:\{p:\mBbbR{}\^{}n| ||p|| \mleq{} r1\} . (mdist(max-metric(n);h x;h y) \mleq{} (r((2 * n) + 1) * mdist(rn-metric(n);x;y)))) By Latex: Auto Home Index