Step
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of Lemma
unit-ball-to-unit-cube
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} ;ℝ^n) ⇒ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}
12. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
13. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p
14. h ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}
⊢ h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
BY
{ (D 10
THENL [(D 0 THEN Auto THEN RepUR ``so_apply`` 0)
; (RepeatFor 4 (ParallelLast)
THEN Auto
THEN (Thin 13 THEN Thin 10)
THEN BLemma `meq-max-metric`
THEN EAuto 1)]
) }
1
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
4. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p ∈ ℝ^n)
7. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)} . h p ≡ (||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p
10. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}
11. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
12. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . h p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p
13. h ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}
14. x1 : {p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)}
15. x2 : {p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);p;λi.r0)}
16. x1 ≡ x2
⊢ (||x1||/mdist(max-metric(n);x1;λi.r0))*x1 ≡ (||x2||/mdist(max-metric(n);x2;λi.r0))*x2
Latex:
Latex:
1. n : \mBbbN{}\msupplus{}
2. \mlambda{}i.r0 \mmember{} \mBbbR{}\^{}n
3. max-metric(n) \mleq{} rn-metric(n)
4. rn-metric(n) \mleq{} r(n)*max-metric(n)
5. \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n. (r0 < ||p|| \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{} r0 < mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
6. \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\} . ((||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p \mmember{} \mBbbR{}\^{}n)
7. h : \mBbbR{}\^{}n {}\mrightarrow{} \mBbbR{}\^{}n
8. \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n. (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0) {}\mRightarrow{} h p \mequiv{} \mlambda{}i.r0)
9. \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\} . h p \mequiv{} (||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p
10. \mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p:FUN(\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0)\} ;\mBbbR{}\^{}n) {}\000C\mRightarrow{} h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
11. h \mmember{} \{q:\mBbbR{}\^{}n| mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q) \mleq{} r1\} {}\mrightarrow{} \{q:\mBbbR{}\^{}n| mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q) \mleq{} r1\}
12. \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n. (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0) {}\mRightarrow{} h p \mequiv{} \mlambda{}i.r0)
13. \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n| r0 < mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)\}
h p \mequiv{} (\mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p) p
14. h \mmember{} \{p:\mBbbR{}\^{}n| ||p|| \mleq{} r1\} {}\mrightarrow{} \{q:\mBbbR{}\^{}n| mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q) \mleq{} r1\}
\mvdash{} h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
By
Latex:
(D 10
THENL [(D 0 THEN Auto THEN RepUR ``so\_apply`` 0)
; (RepeatFor 4 (ParallelLast)
THEN Auto
THEN (Thin 13 THEN Thin 10)
THEN BLemma `meq-max-metric`
THEN EAuto 1)]
)
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