---

Step * 2 2 1 1 1 of Lemma unit-cube-to-unit-ball

.....set predicate..... 
1. n : ℕ+
2. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
3. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
4. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . ((mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p ∈ ℝ^n)
6. λi.r0 ∈ ℝ^n
7. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
10. λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < ||p||} ;ℝ^n) ⇒ g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. x : ℝ^n
12. mdist(max-metric(n);λi.r0;x) ≤ r1
⊢ mdist(rn-metric(n);λi.r0;g x) ≤ r1
BY
{ ((Assert ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0) BY
          (ParallelOp -5 THEN ParallelLast THEN EAuto 1))
   THEN (Assert ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p BY
               (ParallelOp -5 THEN EAuto 1))
   THEN (StableCases ⌜r0 < ||x||⌝⋅ THENA Auto)
   THEN Try (((FLemma `not-rless` [-1] THENA Auto)
              THEN (Assert req-vec(n;x;λi.r0) BY
                          (BLemma `real-vec-norm-is-0` THEN Auto THEN BLemma `rleq_antisymmetry` THEN Auto))
              ))) }

1
1. n : ℕ+
2. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
3. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
4. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . ((mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p ∈ ℝ^n)
6. λi.r0 ∈ ℝ^n
7. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
10. λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < ||p||} ;ℝ^n) ⇒ g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. x : ℝ^n
12. mdist(max-metric(n);λi.r0;x) ≤ r1
13. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
14. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
15. r0 < ||x||
⊢ mdist(rn-metric(n);λi.r0;g x) ≤ r1

2
1. n : ℕ+
2. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
3. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
4. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . ((mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p ∈ ℝ^n)
6. λi.r0 ∈ ℝ^n
7. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
10. λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < ||p||} ;ℝ^n) ⇒ g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. x : ℝ^n
12. mdist(max-metric(n);λi.r0;x) ≤ r1
13. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
14. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
15. ¬(r0 < ||x||)
16. ||x|| ≤ r0
17. req-vec(n;x;λi.r0)
⊢ mdist(rn-metric(n);λi.r0;g x) ≤ r1

---

Latex:

---

Latex:
.....set  predicate..... 
1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  max-metric(n)  \mleq{}  rn-metric(n)
3.  rn-metric(n)  \mleq{}  r(n)*max-metric(n)
4.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
5.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  ((mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n)
6.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
7.  g  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
8.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
9.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  g  p  \mequiv{}  (mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p
10.  \mlambda{}p.(mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p:FUN(\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  ;\mBbbR{}\^{}n)  {}\mRightarrow{}  g:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
11.  x  :  \mBbbR{}\^{}n
12.  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;x)  \mleq{}  r1
\mvdash{}  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;g  x)  \mleq{}  r1


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)  BY
                (ParallelOp  -5  THEN  ParallelLast  THEN  EAuto  1))
  THEN  (Assert  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  g  p  \mequiv{}  (mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p  BY
                          (ParallelOp  -5  THEN  EAuto  1))
  THEN  (StableCases  \mkleeneopen{}r0  <  ||x||\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Try  (((FLemma  `not-rless`  [-1]  THENA  Auto)
                        THEN  (Assert  req-vec(n;x;\mlambda{}i.r0)  BY
                                                (BLemma  `real-vec-norm-is-0`
                                                  THEN  Auto
                                                  THEN  BLemma  `rleq\_antisymmetry`
                                                  THEN  Auto))
                        )))

---

Home Index