---

Step * 2 2 1 2 1 1 of Lemma unit-cube-to-unit-ball

.....antecedent..... 
1. n : ℕ+
2. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
3. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
4. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . ((mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p ∈ ℝ^n)
6. λi.r0 ∈ ℝ^n
7. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
10. g ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
11. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
12. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p) p
⊢ λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < ||p||} ;ℝ^n)
BY
{ ((D 0 THEN Auto) THEN RepUR ``so_apply`` 0) }

1
1. n : ℕ+
2. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
3. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
4. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . ((mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p ∈ ℝ^n)
6. λi.r0 ∈ ℝ^n
7. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
10. g ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
11. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
12. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p) p
13. x1 : {p:ℝ^n| r0 < ||p||} 
14. x2 : {p:ℝ^n| r0 < ||p||} 
15. x1 ≡ x2
⊢ (mdist(max-metric(n);λi.r0;x1)/||x1||)*x1 ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;x2)/||x2||)*x2

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  max-metric(n)  \mleq{}  rn-metric(n)
3.  rn-metric(n)  \mleq{}  r(n)*max-metric(n)
4.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
5.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  ((mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n)
6.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
7.  g  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
8.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
9.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  g  p  \mequiv{}  (mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p
10.  g  \mmember{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}    {}\mrightarrow{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
11.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
12.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  g  p  \mequiv{}  (\mlambda{}p.(mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p)  p
\mvdash{}  \mlambda{}p.(mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p:FUN(\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  ;\mBbbR{}\^{}n)


By

---

Latex:
((D  0  THEN  Auto)  THEN  RepUR  ``so\_apply``  0)

---

Home Index