---

Step * 1 1 of Lemma Cauchy-Schwarz3-strict


1. n : ℕ
2. x : ℕn ⟶ ℝ
3. y : ℕn ⟶ ℝ
4. ∃i,j:ℕn. x[j] * y[i] ≠ x[i] * y[j]
⇐⇒ (Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1} * Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}) < (Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}
    * Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1})
5. ∀x:ℕn ⟶ ℝ. (r0 ≤ Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1})
⊢ (Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1} * Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}) < (Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1} * Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1})
⇐⇒ |Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}| < (rsqrt(Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}) * rsqrt(Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}))
BY
{ ((InstHyp [⌜x⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN (With ⌜y⌝ (D (-2))⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN GenConclAtAddr [1;2]
   THEN GenConclAtAddr [2;1;2]
   THEN GenConclAtAddr [2;2;1;1;1]
   THEN All Thin
   THEN Auto) }

1
1. v : ℝ
2. v1 : ℝ
3. v2 : ℝ
4. r0 ≤ v
5. r0 ≤ v1
6. (v2 * v2) < (v * v1)
⊢ |v2| < (rsqrt(v) * rsqrt(v1))

2
1. v : ℝ
2. v1 : ℝ
3. v2 : ℝ
4. r0 ≤ v
5. r0 ≤ v1
6. |v2| < (rsqrt(v) * rsqrt(v1))
⊢ (v2 * v2) < (v * v1)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  x  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  y  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
4.  \mexists{}i,j:\mBbbN{}n.  x[j]  *  y[i]  \mneq{}  x[i]  *  y[j]
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (\mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}  *  \mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})  <  (\mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}
        *  \mSigma{}\{y[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})
5.  \mforall{}x:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.  (r0  \mleq{}  \mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})
\mvdash{}  (\mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}  *  \mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})  <  (\mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}
    *  \mSigma{}\{y[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  |\mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}|  <  (rsqrt(\mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})
        *  rsqrt(\mSigma{}\{y[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (With  \mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}  (D  (-2))\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  GenConclAtAddr  [1;2]
  THEN  GenConclAtAddr  [2;1;2]
  THEN  GenConclAtAddr  [2;2;1;1;1]
  THEN  All  Thin
  THEN  Auto)

---

Home Index