---

Step * 1 1 1 1 of Lemma IVT-locally-non-constant-open


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. a < b
6. ∀a',b':ℝ.  (((a < a') ∧ (a' < b') ∧ (b' < b)) ⇒ (∀c:ℝ. locally-non-constant(f;a';b';c)))
7. c : ℝ
8. f(a) < c
9. c < f(b)
10. k : ℕ+
11. (r1/r(k)) < (c - f(a))
12. d : ℝ
13. r0 < d
14. ∀x,y:ℝ.  (((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ⇒ ((a ≤ y) ∧ (y ≤ b)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))))
⊢ ∃a':ℝ. (((a < a') ∧ (a' < b)) ∧ (f(a') < c))
BY
{ ((InstLemma `ravg-between` [⌜a⌝;⌜b⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert a < rmin(a + d;ravg(a;b)) BY
               (BLemma `rmin_strict_ub` THEN Auto))
   THEN (Assert rmin(a + d;ravg(a;b)) < b BY
               ((BLemma `rmin_strict_lb` THENM OrRight) THEN Auto))
   THEN ((InstHyp [⌜a⌝;⌜rmin(a + d;ravg(a;b))⌝] (-4)⋅ THENM (D 0 With ⌜rmin(a + d;ravg(a;b))⌝  THEN Auto))
         THENA Auto
         )) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. a < b
6. ∀a',b':ℝ.  (((a < a') ∧ (a' < b') ∧ (b' < b)) ⇒ (∀c:ℝ. locally-non-constant(f;a';b';c)))
7. c : ℝ
8. f(a) < c
9. c < f(b)
10. k : ℕ+
11. (r1/r(k)) < (c - f(a))
12. d : ℝ
13. r0 < d
14. ∀x,y:ℝ.  (((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ⇒ ((a ≤ y) ∧ (y ≤ b)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))))
15. a < ravg(a;b)
16. ravg(a;b) < b
17. a < rmin(a + d;ravg(a;b))
18. rmin(a + d;ravg(a;b)) < b
⊢ |a - rmin(a + d;ravg(a;b))| ≤ d

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. a < b
6. ∀a',b':ℝ.  (((a < a') ∧ (a' < b') ∧ (b' < b)) ⇒ (∀c:ℝ. locally-non-constant(f;a';b';c)))
7. c : ℝ
8. f(a) < c
9. c < f(b)
10. k : ℕ+
11. (r1/r(k)) < (c - f(a))
12. d : ℝ
13. r0 < d
14. ∀x,y:ℝ.  (((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ⇒ ((a ≤ y) ∧ (y ≤ b)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))))
15. a < ravg(a;b)
16. ravg(a;b) < b
17. a < rmin(a + d;ravg(a;b))
18. rmin(a + d;ravg(a;b)) < b
19. |f[a] - f[rmin(a + d;ravg(a;b))]| ≤ (r1/r(k))
20. a < rmin(a + d;ravg(a;b))
21. rmin(a + d;ravg(a;b)) < b
⊢ f(rmin(a + d;ravg(a;b))) < c

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  (a,  b)  \msubseteq{}  [a,  b] 
5.  a  <  b
6.  \mforall{}a',b':\mBbbR{}.    (((a  <  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  <  b))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}c:\mBbbR{}.  locally-non-constant(f;a';b';c)))
7.  c  :  \mBbbR{}
8.  f(a)  <  c
9.  c  <  f(b)
10.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  (r1/r(k))  <  (c  -  f(a))
12.  d  :  \mBbbR{}
13.  r0  <  d
14.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
            (((a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b))  {}\mRightarrow{}  ((a  \mleq{}  y)  \mwedge{}  (y  \mleq{}  b))  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(k))))
\mvdash{}  \mexists{}a':\mBbbR{}.  (((a  <  a')  \mwedge{}  (a'  <  b))  \mwedge{}  (f(a')  <  c))


By

---

Latex:
((InstLemma  `ravg-between`  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  a  <  rmin(a  +  d;ravg(a;b))  BY
                          (BLemma  `rmin\_strict\_ub`  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  rmin(a  +  d;ravg(a;b))  <  b  BY
                          ((BLemma  `rmin\_strict\_lb`  THENM  OrRight)  THEN  Auto))
  THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}rmin(a  +  d;ravg(a;b))\mkleeneclose{}]  (-4)\mcdot{}
              THENM  (D  0  With  \mkleeneopen{}rmin(a  +  d;ravg(a;b))\mkleeneclose{}    THEN  Auto)
              )
              THENA  Auto
              ))

---

Home Index