---

Step * 1 of Lemma Taylor-series-bounded-converges-everywhere


1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. ∀m:ℕ. ∃c:ℝ. ∃N:ℕ. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
5. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
⊢ lim k→∞.r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!)) = λx.r0 for x ∈ (-∞, ∞)
BY
{ (D 0
   THEN RepUR ``i-approx`` 0
   THEN Auto
   THEN RenameVar `j' (-1)
   THEN RepUR ``i-approx`` -2
   THEN (D -4 With ⌜m⌝  THENA Auto)
   THEN ExRepD) }

1
1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
5. m : {m:ℕ+| icompact([r(-m), r(m)])} 
6. j : ℕ+
7. c : ℝ
8. N : ℕ
9. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
⊢ ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| (r(-m) ≤ x) ∧ (x ≤ r(m))} . ∀k:{N...}.  (|(r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!))) - r0| ≤ (r1/r(j)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
3.  infinite-deriv-seq((-\minfty{},  \minfty{});i,x.F[i;x])
4.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  \mexists{}c:\mBbbR{}.  \mexists{}N:\mBbbN{}.  \mforall{}k:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\}  .    (|F[k;x]|  \mleq{}  c)
5.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
\mvdash{}  lim  k\mrightarrow{}\minfty{}.r\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!))  =  \mlambda{}x.r0  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})


By

---

Latex:
(D  0
  THEN  RepUR  ``i-approx``  0
  THEN  Auto
  THEN  RenameVar  `j'  (-1)
  THEN  RepUR  ``i-approx``  -2
  THEN  (D  -4  With  \mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  ExRepD)

---

Home Index