---

Step * 1 1 of Lemma Taylor-series-bounded-converges-everywhere


1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
5. m : {m:ℕ+| icompact([r(-m), r(m)])} 
6. j : ℕ+
7. c : ℝ
8. N : ℕ
9. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
⊢ ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| (r(-m) ≤ x) ∧ (x ≤ r(m))} . ∀k:{N...}.  (|(r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!))) - r0| ≤ (r1/r(j)))
BY
{ ((Assert ⌜∃d:ℝ. ((r0 < d) ∧ (∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ d)))⌝⋅
    THENA (D 0 With ⌜c + r1⌝ 
           THEN (Auto THEN Try (((RWO  "-4" 0 THENA Auto) THEN nRAdd ⌜-(c)⌝ 0⋅ THEN Auto)))
           THEN Try (((InstHyp [⌜N⌝;⌜r0⌝] (-1)⋅
                       THENA (Auto THEN MemTypeCD THEN Auto THEN RWO "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto)
                       )
                      THEN ((Assert r0 ≤ |F[N;r0]| BY Auto) THEN (Assert r0 ≤ c BY Auto))
                      THEN (RWO "-1<" 0 THENA Auto)
                      THEN nRNorm 0
                      THEN Auto)))
    )
   THEN ThinVar `c'
   THEN ExRepD
   THEN RenameVar `c' (-3)) }

1
1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
5. m : {m:ℕ+| icompact([r(-m), r(m)])} 
6. j : ℕ+
7. N : ℕ
8. c : ℝ
9. r0 < c
10. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
⊢ ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| (r(-m) ≤ x) ∧ (x ≤ r(m))} . ∀k:{N...}.  (|(r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!))) - r0| ≤ (r1/r(j)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
3.  infinite-deriv-seq((-\minfty{},  \minfty{});i,x.F[i;x])
4.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
5.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact([r(-m),  r(m)])\} 
6.  j  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  c  :  \mBbbR{}
8.  N  :  \mBbbN{}
9.  \mforall{}k:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\}  .    (|F[k;x]|  \mleq{}  c)
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
      \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r(-m)  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r(m))\}  .  \mforall{}k:\{N...\}.    (|(r\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!)))  -  r0|  \mleq{}  (r1/r(j))\000C)


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}d:\mBbbR{}.  ((r0  <  d)  \mwedge{}  (\mforall{}k:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\}  .    (|F[k;x]|  \mleq{}  d)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
    THENA  (D  0  With  \mkleeneopen{}c  +  r1\mkleeneclose{} 
                  THEN  (Auto  THEN  Try  (((RWO    "-4"  0  THENA  Auto)  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}-(c)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)))
                  THEN  Try  (((InstHyp  [\mkleeneopen{}N\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}
                                          THENA  (Auto  THEN  MemTypeCD  THEN  Auto  THEN  RWO  "rabs-of-nonneg"  0  THEN  Auto)
                                          )
                                        THEN  ((Assert  r0  \mleq{}  |F[N;r0]|  BY  Auto)  THEN  (Assert  r0  \mleq{}  c  BY  Auto))
                                        THEN  (RWO  "-1<"  0  THENA  Auto)
                                        THEN  nRNorm  0
                                        THEN  Auto)))
    )
  THEN  ThinVar  `c'
  THEN  ExRepD
  THEN  RenameVar  `c'  (-3))

---

Home Index