---

Step * 1 1 1 of Lemma Taylor-series-bounded-converges-everywhere


1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
5. m : {m:ℕ+| icompact([r(-m), r(m)])} 
6. j : ℕ+
7. N : ℕ
8. c : ℝ
9. r0 < c
10. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
⊢ ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| (r(-m) ≤ x) ∧ (x ≤ r(m))} . ∀k:{N...}.  (|(r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!))) - r0| ≤ (r1/r(j)))
BY
{ Assert ⌜∃M:ℕ+. ∀k:{M...}. (|r^k * (c/r((k)!))| ≤ (r1/r(j)))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
5. m : {m:ℕ+| icompact([r(-m), r(m)])} 
6. j : ℕ+
7. N : ℕ
8. c : ℝ
9. r0 < c
10. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
⊢ ∃M:ℕ+. ∀k:{M...}. (|r^k * (c/r((k)!))| ≤ (r1/r(j)))

2
1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
5. m : {m:ℕ+| icompact([r(-m), r(m)])} 
6. j : ℕ+
7. N : ℕ
8. c : ℝ
9. r0 < c
10. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
11. ∃M:ℕ+. ∀k:{M...}. (|r^k * (c/r((k)!))| ≤ (r1/r(j)))
⊢ ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| (r(-m) ≤ x) ∧ (x ≤ r(m))} . ∀k:{N...}.  (|(r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!))) - r0| ≤ (r1/r(j)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
3.  infinite-deriv-seq((-\minfty{},  \minfty{});i,x.F[i;x])
4.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
5.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact([r(-m),  r(m)])\} 
6.  j  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  N  :  \mBbbN{}
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  <  c
10.  \mforall{}k:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\}  .    (|F[k;x]|  \mleq{}  c)
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
      \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r(-m)  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r(m))\}  .  \mforall{}k:\{N...\}.    (|(r\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!)))  -  r0|  \mleq{}  (r1/r(j))\000C)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}M:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}k:\{M...\}.  (|r\^{}k  *  (c/r((k)!))|  \mleq{}  (r1/r(j)))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index