---

Step * 1 1 of Lemma approx-arg_wf


1. f : (-∞, ∞) ⟶ℝ
2. f' : (-∞, ∞) ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
4. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on (-∞, ∞)
5. B : ℕ
6. ∀x:ℝ. (|f'[x]| ≤ r(B))
7. x : ℝ
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
9. n : ℕ+
10. m : ℕ+
⊢ |(m * (f (r(x n))/2 * n n)) - n * (f (r(x m))/2 * m m)| ≤ ((2 * (1 + B)) * (n + m))
BY
{ ((InstHyp [⌜(x within 1/n)⌝;⌜(x within 1/m)⌝] (-3)⋅ THENA Auto)
   THEN Fold `rational-approx` 0
   THEN (InstLemma `rational-approx-property` [⌜x⌝;⌜n⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (InstLemma `rational-approx-property` [⌜x⌝;⌜m⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (RepeatFor 3 (MoveToConcl (-1)) THEN GenConclTerms Auto [⌜(x within 1/n)⌝;⌜(x within 1/m)⌝]⋅)
   THEN Auto) }

1
1. f : (-∞, ∞) ⟶ℝ
2. f' : (-∞, ∞) ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
4. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on (-∞, ∞)
5. B : ℕ
6. ∀x:ℝ. (|f'[x]| ≤ r(B))
7. x : ℝ
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
9. n : ℕ+
10. m : ℕ+
11. v : ℝ
12. (x within 1/n) = v ∈ ℝ
13. v1 : ℝ
14. (x within 1/m) = v1 ∈ ℝ
15. |f[v] - f[v1]| ≤ (r(B) * |v - v1|)
16. |x - v| ≤ (r1/r(n))
17. |x - v1| ≤ (r1/r(m))
⊢ |(m * (f v n)) - n * (f v1 m)| ≤ ((2 * (1 + B)) * (n + m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  (-\minfty{},  \minfty{})  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
2.  f'  :  (-\minfty{},  \minfty{})  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
4.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  (-\minfty{},  \minfty{})
5.  B  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (|f'[x]|  \mleq{}  r(B))
7.  x  :  \mBbbR{}
8.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\}  .    (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r(B)  *  |x  -  y|))
9.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
\mvdash{}  |(m  *  (f  (r(x  n))/2  *  n  n))  -  n  *  (f  (r(x  m))/2  *  m  m)|  \mleq{}  ((2  *  (1  +  B))  *  (n  +  m))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}(x  within  1/n)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(x  within  1/m)\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Fold  `rational-approx`  0
  THEN  (InstLemma  `rational-approx-property`  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `rational-approx-property`  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RepeatFor  3  (MoveToConcl  (-1))  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}(x  within  1/n)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(x  within  1/m)\mkleeneclose{}]\mcdot{})
  THEN  Auto)

---

Home Index