---

Step * 1 1 1 of Lemma approx-arg_wf


1. f : (-∞, ∞) ⟶ℝ
2. f' : (-∞, ∞) ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
4. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on (-∞, ∞)
5. B : ℕ
6. ∀x:ℝ. (|f'[x]| ≤ r(B))
7. x : ℝ
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
9. n : ℕ+
10. m : ℕ+
11. v : ℝ
12. (x within 1/n) = v ∈ ℝ
13. v1 : ℝ
14. (x within 1/m) = v1 ∈ ℝ
15. |f[v] - f[v1]| ≤ (r(B) * |v - v1|)
16. |x - v| ≤ (r1/r(n))
17. |x - v1| ≤ (r1/r(m))
⊢ |(m * (f v n)) - n * (f v1 m)| ≤ ((2 * (1 + B)) * (n + m))
BY
{ Assert ⌜|(r(2 * n * m) * (f v)) - r(m * (f v n))| ≤ r(2 * m)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. f : (-∞, ∞) ⟶ℝ
2. f' : (-∞, ∞) ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
4. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on (-∞, ∞)
5. B : ℕ
6. ∀x:ℝ. (|f'[x]| ≤ r(B))
7. x : ℝ
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
9. n : ℕ+
10. m : ℕ+
11. v : ℝ
12. (x within 1/n) = v ∈ ℝ
13. v1 : ℝ
14. (x within 1/m) = v1 ∈ ℝ
15. |f[v] - f[v1]| ≤ (r(B) * |v - v1|)
16. |x - v| ≤ (r1/r(n))
17. |x - v1| ≤ (r1/r(m))
⊢ |(r(2 * n * m) * (f v)) - r(m * (f v n))| ≤ r(2 * m)

2
1. f : (-∞, ∞) ⟶ℝ
2. f' : (-∞, ∞) ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
4. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on (-∞, ∞)
5. B : ℕ
6. ∀x:ℝ. (|f'[x]| ≤ r(B))
7. x : ℝ
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
9. n : ℕ+
10. m : ℕ+
11. v : ℝ
12. (x within 1/n) = v ∈ ℝ
13. v1 : ℝ
14. (x within 1/m) = v1 ∈ ℝ
15. |f[v] - f[v1]| ≤ (r(B) * |v - v1|)
16. |x - v| ≤ (r1/r(n))
17. |x - v1| ≤ (r1/r(m))
18. |(r(2 * n * m) * (f v)) - r(m * (f v n))| ≤ r(2 * m)
⊢ |(m * (f v n)) - n * (f v1 m)| ≤ ((2 * (1 + B)) * (n + m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  (-\minfty{},  \minfty{})  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
2.  f'  :  (-\minfty{},  \minfty{})  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
4.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  (-\minfty{},  \minfty{})
5.  B  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (|f'[x]|  \mleq{}  r(B))
7.  x  :  \mBbbR{}
8.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\}  .    (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r(B)  *  |x  -  y|))
9.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  v  :  \mBbbR{}
12.  (x  within  1/n)  =  v
13.  v1  :  \mBbbR{}
14.  (x  within  1/m)  =  v1
15.  |f[v]  -  f[v1]|  \mleq{}  (r(B)  *  |v  -  v1|)
16.  |x  -  v|  \mleq{}  (r1/r(n))
17.  |x  -  v1|  \mleq{}  (r1/r(m))
\mvdash{}  |(m  *  (f  v  n))  -  n  *  (f  v1  m)|  \mleq{}  ((2  *  (1  +  B))  *  (n  +  m))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}|(r(2  *  n  *  m)  *  (f  v))  -  r(m  *  (f  v  n))|  \mleq{}  r(2  *  m)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index