---

Step * 2 1 1 1 of Lemma approx-arg_wf

.....assertion..... 
1. f : (-∞, ∞) ⟶ℝ
2. f' : (-∞, ∞) ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
4. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on (-∞, ∞)
5. B : ℕ
6. ∀x:ℝ. (|f'[x]| ≤ r(B))
7. x : ℝ
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
9. 1 + B-regular-seq(λn.eval a = x n in
                        eval m = 2 * n in
                          f (r(a))/m n)
⊢ bdd-diff(λn.eval a = x n in
              eval m = 2 * n in
                f (r(a))/m n;f x)
BY
{ ((D 0 With ⌜4 + (2 * B)⌝  THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN Auto
   THEN RepeatFor 2 ((CallByValueReduce 0⋅ THENA Auto))
   THEN Fold `rational-approx` 0) }

1
1. f : (-∞, ∞) ⟶ℝ
2. f' : (-∞, ∞) ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
4. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on (-∞, ∞)
5. B : ℕ
6. ∀x:ℝ. (|f'[x]| ≤ r(B))
7. x : ℝ
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
9. 1 + B-regular-seq(λn.eval a = x n in
                        eval m = 2 * n in
                          f (r(a))/m n)
10. n : ℕ+
⊢ |(f (x within 1/n) n) - f x n| ≤ (4 + (2 * B))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  f  :  (-\minfty{},  \minfty{})  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
2.  f'  :  (-\minfty{},  \minfty{})  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
4.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  (-\minfty{},  \minfty{})
5.  B  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (|f'[x]|  \mleq{}  r(B))
7.  x  :  \mBbbR{}
8.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\}  .    (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r(B)  *  |x  -  y|))
9.  1  +  B-regular-seq(\mlambda{}n.eval  a  =  x  n  in
                                                eval  m  =  2  *  n  in
                                                    f  (r(a))/m  n)
\mvdash{}  bdd-diff(\mlambda{}n.eval  a  =  x  n  in
                            eval  m  =  2  *  n  in
                                f  (r(a))/m  n;f  x)


By

---

Latex:
((D  0  With  \mkleeneopen{}4  +  (2  *  B)\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto
  THEN  RepeatFor  2  ((CallByValueReduce  0\mcdot{}  THENA  Auto))
  THEN  Fold  `rational-approx`  0)

---

Home Index