---

Step * 1 1 1 1 2 of Lemma closures-meet'


1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((a' ∈ P) ∧ (b' ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
12. a : ℝ
13. b : ℝ
14. a3 : a ∈ P
15. a5 : b ∈ Q
16. a6 : a < b
17. a' : ℝ
18. b' : ℝ
19. a' ∈ P
20. b' ∈ Q
21. a ≤ a'
22. a' < b'
23. b' ≤ b
24. (b' - a') ≤ ((b - a) * c)
25. (a' ∈ P) ∧ (b' ∈ Q) ∧ (a' < b')
⊢ ∃abp':a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b)). let a,b,p = <a, b, a3, a5, a6> in let a',b',p' = abp' in (a ≤ a') ∧ (\000Ca' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
BY
{ RenameVar `q' (-1) }

1
1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      ⇒ (∃a',b':ℝ. ((a' ∈ P) ∧ (b' ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))
12. a : ℝ
13. b : ℝ
14. a3 : a ∈ P
15. a5 : b ∈ Q
16. a6 : a < b
17. a' : ℝ
18. b' : ℝ
19. a' ∈ P
20. b' ∈ Q
21. a ≤ a'
22. a' < b'
23. b' ≤ b
24. (b' - a') ≤ ((b - a) * c)
25. q : (a' ∈ P) ∧ (b' ∈ Q) ∧ (a' < b')
⊢ ∃abp':a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b)). let a,b,p = <a, b, a3, a5, a6> in let a',b',p' = abp' in (a ≤ a') ∧ (\000Ca' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  Set(\mBbbR{})
2.  Q  :  Set(\mBbbR{})
3.  a0  :  \mBbbR{}
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  a0  \mmember{}  P
6.  b0  \mmember{}  Q
7.  a0  <  b0
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  \mleq{}  c
10.  c  <  r1
11.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
            (((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a',b':\mBbbR{}
                      ((a'  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b'  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c)))))
12.  a  :  \mBbbR{}
13.  b  :  \mBbbR{}
14.  a3  :  a  \mmember{}  P
15.  a5  :  b  \mmember{}  Q
16.  a6  :  a  <  b
17.  a'  :  \mBbbR{}
18.  b'  :  \mBbbR{}
19.  a'  \mmember{}  P
20.  b'  \mmember{}  Q
21.  a  \mleq{}  a'
22.  a'  <  b'
23.  b'  \mleq{}  b
24.  (b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c)
25.  (a'  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b'  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a'  <  b')
\mvdash{}  \mexists{}abp':a:\mBbbR{}  \mtimes{}  b:\mBbbR{}  \mtimes{}  ((a  \mmember{}  P)  \mwedge{}  (b  \mmember{}  Q)  \mwedge{}  (a  <  b))
      let  a,b,p  =  <a,  b,  a3,  a5,  a6>  in 
      let  a',b',p'  =  abp'  in 
      (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c))


By

---

Latex:
RenameVar  `q'  (-1)

---

Home Index