Proof of Nuprl Lemma : closures-meet'

Step * 1 1 2 1 2 1 1 of Lemma closures-meet'

.....assertion.....
1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
(((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
⇒

 (∃a',b':ℝ. ((a' ∈ P) ∧ (b' ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))

12. ∀abp:a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      ∃abp':a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
       let a,b,p = abp in
       let a',b',p' = abp' in
       (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))

13. f : abp:(a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))) ⟶ (a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b)))

14. ∀abp:a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      let a,b,p = abp in
      let a',b',p' = f abp in
      (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
15. p0 : (a0 ∈ P) ∧ (b0 ∈ Q) ∧ (a0 < b0)
⊢ ∃ab:ℕ ⟶ (ℝ × ℝ)
   ∀n:ℕ
     let a,b = ab[n]
     in let a',b' = ab[n + 1]

        in (a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))

BY
{ InstConcl [⌜λn.let a,b,p = primrec(n;<a0, b0, p0>;λx,y. (f y)) in
                 <a, b>⌝]⋅ }

1
.....wf.....
1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      ⇒

 (∃a',b':ℝ. ((a' ∈ P) ∧ (b' ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))

13. f : abp:(a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))) ⟶ (a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b)))

14. ∀abp:a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      let a,b,p = abp in
      let a',b',p' = f abp in
      (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
15. p0 : (a0 ∈ P) ∧ (b0 ∈ Q) ∧ (a0 < b0)
⊢ λn.let a,b,p = primrec(n;<a0, b0, p0>;λx,y. (f y)) in
     <a, b> ∈ ℕ ⟶ (ℝ × ℝ)

2
1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
      (((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      ⇒

 (∃a',b':ℝ. ((a' ∈ P) ∧ (b' ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))

13. f : abp:(a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))) ⟶ (a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b)))

14. ∀abp:a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      let a,b,p = abp in
      let a',b',p' = f abp in
      (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
15. p0 : (a0 ∈ P) ∧ (b0 ∈ Q) ∧ (a0 < b0)
⊢ ∀n:ℕ
    let a,b = λn.let a,b,p = primrec(n;<a0, b0, p0>;λx,y. (f y)) in
                 <a, b>[n]
    in let a',b' = λn.let a,b,p = primrec(n;<a0, b0, p0>;λx,y. (f y)) in
                      <a, b>[n + 1]

       in (a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))

3
.....wf.....
1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. ∀a,b:ℝ.
(((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
⇒

 (∃a',b':ℝ. ((a' ∈ P) ∧ (b' ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))

13. f : abp:(a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))) ⟶ (a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b)))

14. ∀abp:a:ℝ × b:ℝ × ((a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a < b))
      let a,b,p = abp in
      let a',b',p' = f abp in
      (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c))
15. p0 : (a0 ∈ P) ∧ (b0 ∈ Q) ∧ (a0 < b0)
16. ab : ℕ ⟶ (ℝ × ℝ)
⊢ istype(∀n:ℕ
           let a,b = ab[n]
           in let a',b' = ab[n + 1]

              in (a ∈ P) ∧ (b ∈ Q) ∧ (a ≤ a') ∧ (a' < b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))

Latex:

Latex:
.....assertion..... 1. P : Set(\mBbbR{}) 2. Q : Set(\mBbbR{}) 3. a0 : \mBbbR{} 4. b0 : \mBbbR{} 5. a0 \mmember{} P 6. b0 \mmember{} Q 7. a0 < b0 8. c : \mBbbR{} 9. r0 \mleq{} c 10. c < r1 11. \mforall{}a,b:\mBbbR{}. (((a \mmember{} P) \mwedge{} (b \mmember{} Q) \mwedge{} (a < b)) {}\mRightarrow{} (\mexists{}a',b':\mBbbR{} ((a' \mmember{} P) \mwedge{} (b' \mmember{} Q) \mwedge{} (a \mleq{} a') \mwedge{} (a' < b') \mwedge{} (b' \mleq{} b) \mwedge{} ((b' - a') \mleq{} ((b - a) * c))))) 12. \mforall{}abp:a:\mBbbR{} \mtimes{} b:\mBbbR{} \mtimes{} ((a \mmember{} P) \mwedge{} (b \mmember{} Q) \mwedge{} (a < b)) \mexists{}abp':a:\mBbbR{} \mtimes{} b:\mBbbR{} \mtimes{} ((a \mmember{} P) \mwedge{} (b \mmember{} Q) \mwedge{} (a < b)) let a,b,p = abp in let a',b',p' = abp' in (a \mleq{} a') \mwedge{} (a' < b') \mwedge{} (b' \mleq{} b) \mwedge{} ((b' - a') \mleq{} ((b - a) * c)) 13. f : abp:(a:\mBbbR{} \mtimes{} b:\mBbbR{} \mtimes{} ((a \mmember{} P) \mwedge{} (b \mmember{} Q) \mwedge{} (a < b))) {}\mrightarrow{} (a:\mBbbR{} \mtimes{} b:\mBbbR{} \mtimes{} ((a \mmember{} P) \mwedge{} (b \mmember{} Q) \mwedge{} (a < b))) 14. \mforall{}abp:a:\mBbbR{} \mtimes{} b:\mBbbR{} \mtimes{} ((a \mmember{} P) \mwedge{} (b \mmember{} Q) \mwedge{} (a < b)) let a,b,p = abp in let a',b',p' = f abp in (a \mleq{} a') \mwedge{} (a' < b') \mwedge{} (b' \mleq{} b) \mwedge{} ((b' - a') \mleq{} ((b - a) * c)) 15. p0 : (a0 \mmember{} P) \mwedge{} (b0 \mmember{} Q) \mwedge{} (a0 < b0) \mvdash{} \mexists{}ab:\mBbbN{} {}\mrightarrow{} (\mBbbR{} \mtimes{} \mBbbR{}) \mforall{}n:\mBbbN{} let a,b = ab[n] in let a',b' = ab[n + 1] in (a \mmember{} P) \mwedge{} (b \mmember{} Q) \mwedge{} (a \mleq{} a') \mwedge{} (a' < b') \mwedge{} (b' \mleq{} b) \mwedge{} ((b' - a') \mleq{} ((b - a) * c)) By Latex: InstConcl [\mkleeneopen{}\mlambda{}n.let a,b,p = primrec(n;<a0, b0, p0>\mlambda{}x,y. (f y)) in <a, b>\mkleeneclose{}]\mcdot{} Home Index