---

Step * 1 2 1 of Lemma closures-meet'


1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. a : ℕ ⟶ ℝ
12. b : ℕ ⟶ ℝ
13. ∀n:ℕ
      ((a[n] ∈ P)
      ∧ (b[n] ∈ Q)
      ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
      ∧ (a[n + 1] < b[n + 1])
      ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
      ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))
⊢ ∃y:ℝ. (y ∈ closure(P) ∧ y ∈ closure(Q))
BY
{ ((Assert ∀n:ℕ
             ((P a[n])
             ∧ (Q b[n])
             ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
             ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1])
             ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
             ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c))) BY
          (ParallelLast THEN Auto))
   THEN Thin (-2)
   ) }

1
1. P : Set(ℝ)
2. Q : Set(ℝ)
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. a0 ∈ P
6. b0 ∈ Q
7. a0 < b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. a : ℕ ⟶ ℝ
12. b : ℕ ⟶ ℝ
13. ∀n:ℕ
      ((P a[n])
      ∧ (Q b[n])
      ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
      ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1])
      ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
      ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))
⊢ ∃y:ℝ. (y ∈ closure(P) ∧ y ∈ closure(Q))

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  Set(\mBbbR{})
2.  Q  :  Set(\mBbbR{})
3.  a0  :  \mBbbR{}
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  a0  \mmember{}  P
6.  b0  \mmember{}  Q
7.  a0  <  b0
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  \mleq{}  c
10.  c  <  r1
11.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
12.  b  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
13.  \mforall{}n:\mBbbN{}
            ((a[n]  \mmember{}  P)
            \mwedge{}  (b[n]  \mmember{}  Q)
            \mwedge{}  (a[n]  \mleq{}  a[n  +  1])
            \mwedge{}  (a[n  +  1]  <  b[n  +  1])
            \mwedge{}  (b[n  +  1]  \mleq{}  b[n])
            \mwedge{}  ((b[n  +  1]  -  a[n  +  1])  \mleq{}  ((b[n]  -  a[n])  *  c)))
\mvdash{}  \mexists{}y:\mBbbR{}.  (y  \mmember{}  closure(P)  \mwedge{}  y  \mmember{}  closure(Q))


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}
                      ((P  a[n])
                      \mwedge{}  (Q  b[n])
                      \mwedge{}  (a[n]  \mleq{}  a[n  +  1])
                      \mwedge{}  (a[n  +  1]  \mleq{}  b[n  +  1])
                      \mwedge{}  (b[n  +  1]  \mleq{}  b[n])
                      \mwedge{}  ((b[n  +  1]  -  a[n  +  1])  \mleq{}  ((b[n]  -  a[n])  *  c)))  BY
                (ParallelLast  THEN  Auto))
  THEN  Thin  (-2)
  )

---

Home Index