---

Step * 1 2 1 of Lemma closures-meet


1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. P a0
6. Q b0
7. a0 ≤ b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. a : ℕ ⟶ ℝ
12. b : ℕ ⟶ ℝ
13. ∀n:ℕ
      ((P a[n])
      ∧ (Q b[n])
      ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
      ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1])
      ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
      ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))
⊢ ∃y:ℝ. (y ∈ closure(P) ∧ y ∈ closure(Q))
BY
{ Assert ⌜∀n:ℕ. r0≤b[n] - a[n]≤(b[0] - a[0]) * c^n⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. P a0
6. Q b0
7. a0 ≤ b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. a : ℕ ⟶ ℝ
12. b : ℕ ⟶ ℝ
13. ∀n:ℕ
      ((P a[n])
      ∧ (Q b[n])
      ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
      ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1])
      ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
      ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))
⊢ ∀n:ℕ. r0≤b[n] - a[n]≤(b[0] - a[0]) * c^n

2
1. [P] : ℝ ⟶ ℙ
2. [Q] : ℝ ⟶ ℙ
3. a0 : ℝ
4. b0 : ℝ
5. P a0
6. Q b0
7. a0 ≤ b0
8. c : ℝ
9. r0 ≤ c
10. c < r1
11. a : ℕ ⟶ ℝ
12. b : ℕ ⟶ ℝ
13. ∀n:ℕ
      ((P a[n])
      ∧ (Q b[n])
      ∧ (a[n] ≤ a[n + 1])
      ∧ (a[n + 1] ≤ b[n + 1])
      ∧ (b[n + 1] ≤ b[n])
      ∧ ((b[n + 1] - a[n + 1]) ≤ ((b[n] - a[n]) * c)))
14. ∀n:ℕ. r0≤b[n] - a[n]≤(b[0] - a[0]) * c^n
⊢ ∃y:ℝ. (y ∈ closure(P) ∧ y ∈ closure(Q))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [P]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  [Q]  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  a0  :  \mBbbR{}
4.  b0  :  \mBbbR{}
5.  P  a0
6.  Q  b0
7.  a0  \mleq{}  b0
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  \mleq{}  c
10.  c  <  r1
11.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
12.  b  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
13.  \mforall{}n:\mBbbN{}
            ((P  a[n])
            \mwedge{}  (Q  b[n])
            \mwedge{}  (a[n]  \mleq{}  a[n  +  1])
            \mwedge{}  (a[n  +  1]  \mleq{}  b[n  +  1])
            \mwedge{}  (b[n  +  1]  \mleq{}  b[n])
            \mwedge{}  ((b[n  +  1]  -  a[n  +  1])  \mleq{}  ((b[n]  -  a[n])  *  c)))
\mvdash{}  \mexists{}y:\mBbbR{}.  (y  \mmember{}  closure(P)  \mwedge{}  y  \mmember{}  closure(Q))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}n:\mBbbN{}.  r0\mleq{}b[n]  -  a[n]\mleq{}(b[0]  -  a[0])  *  c\^{}n\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index