---

Step * 1 2 1 1 of Lemma concave-positive-nonzero-on


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (r0 < f[x]))
5. concave-on(I;x.f[x])
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. i-approx(I;m) ⊆ I 
8. left-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
9. right-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
10. r0 < rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])
11. x : ℝ
12. x ∈ i-approx(I;m)
13. r0 < f[x]
14. left-endpoint(i-approx(I;m)) < right-endpoint(i-approx(I;m))
⊢ rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))]) ≤ f[x]
BY
{ Assert ⌜∃t:ℝ
           ((r0 ≤ t)
           ∧ (t ≤ r1)
           ∧ (x = ((t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m))))))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (r0 < f[x]))
5. concave-on(I;x.f[x])
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. i-approx(I;m) ⊆ I 
8. left-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
9. right-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
10. r0 < rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])
11. x : ℝ
12. x ∈ i-approx(I;m)
13. r0 < f[x]
14. left-endpoint(i-approx(I;m)) < right-endpoint(i-approx(I;m))
⊢ ∃t:ℝ. ((r0 ≤ t) ∧ (t ≤ r1) ∧ (x = ((t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m))))))

2
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (r0 < f[x]))
5. concave-on(I;x.f[x])
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. i-approx(I;m) ⊆ I 
8. left-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
9. right-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
10. r0 < rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])
11. x : ℝ
12. x ∈ i-approx(I;m)
13. r0 < f[x]
14. left-endpoint(i-approx(I;m)) < right-endpoint(i-approx(I;m))
15. ∃t:ℝ
     ((r0 ≤ t) ∧ (t ≤ r1) ∧ (x = ((t * left-endpoint(i-approx(I;m))) + ((r1 - t) * right-endpoint(i-approx(I;m))))))
⊢ rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))]) ≤ f[x]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (r0  <  f[x]))
5.  concave-on(I;x.f[x])
6.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
7.  i-approx(I;m)  \msubseteq{}  I 
8.  left-endpoint(i-approx(I;m))  \mmember{}  I
9.  right-endpoint(i-approx(I;m))  \mmember{}  I
10.  r0  <  rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])
11.  x  :  \mBbbR{}
12.  x  \mmember{}  i-approx(I;m)
13.  r0  <  f[x]
14.  left-endpoint(i-approx(I;m))  <  right-endpoint(i-approx(I;m))
\mvdash{}  rmin(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])  \mleq{}  f[x]


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}t:\mBbbR{}
                  ((r0  \mleq{}  t)
                  \mwedge{}  (t  \mleq{}  r1)
                  \mwedge{}  (x  =  ((t  *  left-endpoint(i-approx(I;m)))  +  ((r1  -  t)  *  right-endpoint(i-approx(I;m))))))\mkleeneclose{}
\mcdot{}

---

Home Index