---

Step * 2 1 2 1 2 1 of Lemma dense-in-interval-implies


1. I : Interval
2. X : {a:ℝ| a ∈ I}  ⟶ ℙ
3. dense-in-interval(I;X)
4. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. b : {b:ℝ| b ∈ I} 
6. X b
7. b ≠ a
8. ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} . ∃c:{c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} . ((X c) ∧ (|c - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)))
9. g : b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a}  ⟶ {c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} 
10. ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} . ((X (g b)) ∧ (|(g b) - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)))
11. ∀n:ℕ. (primrec(n;b;λi,x. (g x)) ∈ {c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} )
12. n : ℤ
13. n ≠ 0
14. 0 < n
15. |primrec(n - 1;b;λi,x. (g x)) - a| ≤ ((r1/r(2^n - 1)) * |b - a|)
⊢ |(g primrec(n - 1;b;λi,x. (g x))) - a| ≤ ((r1/r(2^n)) * |b - a|)
BY
{ (MoveToConcl (-1)
   THEN (InstHyp [⌜primrec(n - 1;b;λi,x. (g x))⌝] (-5)⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN GenConclTerms Auto [⌜|(g primrec(n - 1;b;λi,x. (g x))) - a|⌝;⌜|primrec(n - 1;b;λi,x. (g x)) - a|⌝]⋅
   THEN (Assert 0 < n BY
               Auto)
   THEN Lemmaize [-1]
   THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
3. b : {b:ℝ| b ∈ I} 
4. n : ℤ
5. v : ℝ
6. v1 : ℝ
7. 0 < n
8. v ≤ ((r1/r(2)) * v1)
9. v1 ≤ ((r1/r(2^n - 1)) * |b - a|)
⊢ v ≤ ((r1/r(2^n)) * |b - a|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  X  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  dense-in-interval(I;X)
4.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
5.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  b  \mmember{}  I\} 
6.  X  b
7.  b  \mneq{}  a
8.  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  b  \mneq{}  a\}  .  \mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  (c  \mmember{}  I)  \mwedge{}  c  \mneq{}  a\}  .  ((X  c)  \mwedge{}  (|c  -  a|  \mleq{}  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|)\000C))
9.  g  :  b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  b  \mneq{}  a\}    {}\mrightarrow{}  \{c:\mBbbR{}|  (c  \mmember{}  I)  \mwedge{}  c  \mneq{}  a\} 
10.  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  b  \mneq{}  a\}  .  ((X  (g  b))  \mwedge{}  (|(g  b)  -  a|  \mleq{}  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|)))
11.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (primrec(n;b;\mlambda{}i,x.  (g  x))  \mmember{}  \{c:\mBbbR{}|  (c  \mmember{}  I)  \mwedge{}  c  \mneq{}  a\}  )
12.  n  :  \mBbbZ{}
13.  n  \mneq{}  0
14.  0  <  n
15.  |primrec(n  -  1;b;\mlambda{}i,x.  (g  x))  -  a|  \mleq{}  ((r1/r(2\^{}n  -  1))  *  |b  -  a|)
\mvdash{}  |(g  primrec(n  -  1;b;\mlambda{}i,x.  (g  x)))  -  a|  \mleq{}  ((r1/r(2\^{}n))  *  |b  -  a|)


By

---

Latex:
(MoveToConcl  (-1)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}primrec(n  -  1;b;\mlambda{}i,x.  (g  x))\mkleeneclose{}]  (-5)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}|(g  primrec(n  -  1;b;\mlambda{}i,x.  (g  x)))  -  a|\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|primrec(n  -  1;b;\mlambda{}i,x.  (g  x))  -  \000Ca|\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  (Assert  0  <  n  BY
                          Auto)
  THEN  Lemmaize  [-1]
  THEN  Auto)

---

Home Index