---

Step * 1 1 2 of Lemma derivative-implies-strictly-decreasing-closed


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. f' : [a, b] ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
6. ifun(λx.f'[x];[a, b])
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (f'[x] ≤ r0)
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ (a, b)} . (f'[x] < r0)
9. (a, b) ⊆ [a, b] 
⊢ ifun(λx.-(f'[x]);[a, b])
BY
{ (RepeatFor 3 ((ParallelOp -4 THEN All Reduce)) THEN ParallelLast THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. f' : [a, b] ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
6. ∀x,y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
7. ∀x:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} . (f'[x] ≤ r0)
8. ∀x:{x:ℝ| (a < x) ∧ (x < b)} . (f'[x] < r0)
9. (a, b) ⊆ [a, b] 
10. x : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 
11. ∀y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} . ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
12. y : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 
13. x = y
14. f'[x] = f'[y]
⊢ -(f'[x]) = -(f'[y])

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  [a,  b]
6.  ifun(\mlambda{}x.f'[x];[a,  b])
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (f'[x]  \mleq{}  r0)
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (a,  b)\}  .  (f'[x]  <  r0)
9.  (a,  b)  \msubseteq{}  [a,  b] 
\mvdash{}  ifun(\mlambda{}x.-(f'[x]);[a,  b])


By

---

Latex:
(RepeatFor  3  ((ParallelOp  -4  THEN  All  Reduce))  THEN  ParallelLast  THEN  Auto)

---

Home Index