---

Step * 1 1 2 1 of Lemma derivative-implies-strictly-decreasing-closed


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. f' : [a, b] ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
6. ∀x,y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
7. ∀x:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} . (f'[x] ≤ r0)
8. ∀x:{x:ℝ| (a < x) ∧ (x < b)} . (f'[x] < r0)
9. (a, b) ⊆ [a, b] 
10. x : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 
11. ∀y:{x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} . ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
12. y : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 
13. x = y
14. f'[x] = f'[y]
⊢ -(f'[x]) = -(f'[y])
BY
{ (RWO "-1" 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  [a,  b]
6.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}  .  (f'[x]  \mleq{}  r0)
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (a  <  x)  \mwedge{}  (x  <  b)\}  .  (f'[x]  <  r0)
9.  (a,  b)  \msubseteq{}  [a,  b] 
10.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\} 
11.  \mforall{}y:\{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\}  .  ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
12.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\} 
13.  x  =  y
14.  f'[x]  =  f'[y]
\mvdash{}  -(f'[x])  =  -(f'[y])


By

---

Latex:
(RWO  "-1"  0  THEN  Auto)

---

Home Index