---

Step * 1 1 of Lemma derivative-implies-strictly-increasing


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f'[x])
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x < y
11. [x, y] ⊆ I 
12. f'[x] continuous for x ∈ [x, y]
13. k : ℕ+
14. (r1/r(k)) < f'[x]
⊢ f[x] < f[y]
BY
{ ((D -3 With ⌜1⌝  THENA (RepUR ``i-approx`` 0 THEN Auto))
   THEN (D -1 With ⌜2 * k⌝  THEN Auto)
   THEN ExRepD
   THEN RepUR ``i-approx`` -1) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
6. f'[x] continuous for x ∈ I
7. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f'[x])
8. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
9. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. x < y
11. [x, y] ⊆ I 
12. k : ℕ+
13. (r1/r(k)) < f'[x]
14. d : ℝ
15. r0 < d
16. ∀x@0,y@0:ℝ.
      (((x ≤ x@0) ∧ (x@0 ≤ y)) ⇒ ((x ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ y)) ⇒ (|x@0 - y@0| ≤ d) ⇒ (|f'[x@0] - f'[y@0]| ≤ (r1/r(2 * k))))
⊢ f[x] < f[y]

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
6.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
7.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (r0  <  f'[x])
8.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
9.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
10.  x  <  y
11.  [x,  y]  \msubseteq{}  I 
12.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [x,  y]
13.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
14.  (r1/r(k))  <  f'[x]
\mvdash{}  f[x]  <  f[y]


By

---

Latex:
((D  -3  With  \mkleeneopen{}1\mkleeneclose{}    THENA  (RepUR  ``i-approx``  0  THEN  Auto))
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}2  *  k\mkleeneclose{}    THEN  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  RepUR  ``i-approx``  -1)

---

Home Index